Matrice triunghiulară

În matematică o matrice triunghiulară este un tip particular de matrice pătrată. O matrice pătrată este inferior triunghiulară dacă toate elementele deasupra diagonalei principale sunt zero. Similar, o matrice pătrată este superior triunghiulară dacă toate elementele de sub diagonala principală sunt zero.^[1]

Deoarece ecuațiile matriciale cu matrici triunghiulare sunt mai ușor de rezolvat, ele sunt foarte importante în analiza numerică. Prin algoritmul de descompunere LU^⁠(d) o matrice inversabilă poate fi scrisă ca produsul unei matrice inferior triunghiulare $L$ și a unei matrice superior triunghiulare $U$ dacă și numai dacă toți minorii săi principali sunt diferiți de zero.

Descriere

O matrice de forma

L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}

este o matrice inferior triunghiulară^[1] sau triunghiulară inferior^[2], iar analog, o matrice de forma

U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}

este o matrice superior triunghiulară^[1] sau triunghiulară superior^[2]. O matrice inferior triunghiulară este de obicei notată cu variabila $L$ (de la Low/Left), iar o matrice superior triunghiulară este de obicei notată cu variabila $U$ (de la Up) sau cu $R$ (de la Right).

O matrice care este atât superior cât și inferior triunghiulară, este o matrice diagonală.

O matrice care nu este pătrată, cu zerouri deasupra (dedesubtul) diagonalei este o matrice inferior/superior trapezoidală. Elementele diferite de zero formează un trapez.

Exemple

Matricea

{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\end{bmatrix}}

este partea inferior triunghiulară a matricei asimetrice:

{\begin{bmatrix}1&5&8\\2&96&9\\4&9&69\end{bmatrix}}

iar

{\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\end{bmatrix}}

este partea superior triunghiulară a matricei asimetrice:

{\begin{bmatrix}1&4&1\\99&6&9\\40&88&1\end{bmatrix}}

Substituția înainte și înapoi

O ecuație matricială de forma $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ sau $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ este foarte ușor de rezolvat printr-un proces repetitiv numit substituție înainte pentru matricile inferior triunghiulare și, analog, substituție înapoi pentru matricele superior triunghiulare. Procesul este numit astfel deoarece pentru matricele inferior triunghiulare se calculează mai întâi $x_{1},$ apoi se înlocuiește acea ecuație înainte în ecuația următoare pentru a rezolva $x_{2}$ și se repetă până la $x_{n}$ . Într-o matrice superior triunghiulară se lucrează înapoi, calculând mai întâi $x_{n},$ apoi înlocuind acea ecuație înapoi în ecuația anterioară pentru a rezolva $x_{n-1}$ și se repetă până la $x_{1}\,.$

De notat că acest procedeu nu necesită inversarea matricei.

Substituția înainte

Ecuația matricială Lx = b poate fi scrisă ca un sistem de ecuații liniare:

{\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}

Se observă că prima ecuație ( $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ ) îl conține doar pe $x_{1},$ prin urmare se poate rezolva direct pentru $x_{1}.$ A doua ecuație îi conține doar pe $x_{1}$ și $x_{2},$ prin urmare poate fi rezolvată odată ce se înlocuiește valoarea deja obținută a lui $x_{1}.$ Continuând în acest fel, cea de a $k$ -a ecuație mai conține doar pe $x_{1},\dots ,x_{k}$ și se poate rezolva pentru $x_{k}$ folosind valorile obținute anterior pentru $x_{1},\dots ,x_{k-1}.$ Formulele rezultate sunt:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}

O ecuație matricială cu o matrice superior triunghiulară $U$ poate fi rezolvată într-un mod analog, doar că lucrând invers.

Proprietăți

Transpusa unei matrice superior triunghiulare este o matrice inferior triunghiulară și invers.

O matrice care este atât simetrică, cât și triunghiulară este diagonală. Similar, o matrice care este atât normală (adică $A * A = AA *,$ unde $A *$ este transpusa conjugată) cât și triunghiulară este, de asemenea, diagonală. Acest lucru poate fi observat examinând elementele diagonale ale $A * A$ și $AA * .$

Determinantul și permanentul unei matrice triunghiulare sunt egale cu produsul elementelor diagonale, așa cum se poate verifica prin calcul direct.

De fapt, este adevărat și mai mult: valorile proprii ale unei matrice triunghiulare sunt chiar elementele sale diagonale. Mai mult, fiecare valoare proprie apare exact de $k$ ori pe diagonală, unde $k$ este multiplicitatea sa algebrică, adică multiplicitatea sa ca rădăcină a polinomului caracteristic^⁠(d) $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ al lui $A.$ Cu alte cuvinte, polinomul caracteristic al unei matrice triunghiulare $A n \times n$ este chiar

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

,

adică polinomul unic de grad $n$ ale cărui rădăcini sunt elementele de pe diagonala lui $A$ (cu multiplicități). Pentru a vedea acest lucru, se observă că $xI-A$ este, de asemenea, triunghiulară, prin urmare determinantul său $\det(xI-A)$ este produsul elementelor sale de pe diagonală $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn}).$ ^[3]

Forme particulare

Matrice unitriunghiulară

Dacă elementele de pe diagonala principală a unei matrice triunghiulare (inferioară sau superioară) sunt toate 1, matricea este (inferior sau superior) unitriunghiulară.

Toate matricile unitriunghiulare finite sunt unipotente^⁠(d).

Matrice strict triunghiulară

Dacă toate elementele de pe diagonala principală a unei matrice triunghiulare (inferioară sau superioară) sunt și 0, matricea se numește strict (inferior sau superior) triunghiulară.

Toate matricile finite strict triunghiulare sunt nilpotente^⁠(d) de indice cel mult $n$ ca o consecință a teoremei Cayley-Hamilton.

Matrice triunghiulară atomică

O matrice triunghiulară atomică (inferioară sau superioară) este o formă articulară de matrice unitriunghiulară, în care toate elementele din afara diagonalei sunt zero, cu excepția elementelor dintr-o singură coloană. O astfel de matrice este numită și matrice Frobenius, matrice Gauss sau matrice de transformare Gauss.

Matrice de blocuri triunghiulară

O matrice de blocuri triunghiulară este o matrice de blocuri (matrice partiționată) care este triunghiulară.

Matrice de blocuri superior triunghiulară

O matrice $A$ este o matrice de blocuri superior triunghiulară dacă

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

unde $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ pentru toți $i,j=1,\ldots ,k$ .^[4]

Matrice de blocuri superior triunghiulară

O matrice $A$ este o matrice de blocuri inferior triunghiulară dacă

A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

unde $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ pentru toți $i,j=1,\ldots ,k$ .^[4]

Triunghiularizare

O matrice care este asemenea cu o matrice triunghiulară poate fi triunghiularizată.^[5] Abstract, acest lucru este echivalent cu stabilizarea unui steag: matricile superior triunghiulare sunt tocmai cele care păstrează steagul standard, care este dat de baza ordonată standard $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ și steagul rezultat $0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.$ Toate steagurile sunt conjugate (deoarece grupul liniar general^⁠(d) acționează tranzitiv asupra bazelor), deci orice matrice care stabilizează un steag este similară cu una care stabilizează steagul standard.

Orice matrice pătrată complexă este triunghiularizabilă.^[3] De fapt, o matrice $A$ peste un corp care conține toate valorile proprii ale lui $A$ (de exemplu, orice matrice peste un corp algebric închis) este similară cu o matrice triunghiulară. Acest lucru poate fi demonstrat folosind inducția pe faptul că $A$ are un vector propriu, luând spațiul cât cu vectorul propriu și inducând pentru a arăta că $A$ stabilizează un steag, prin urmare este triunghiularizabilă în raport cu o bază pentru acel steag.

O afirmație mai exactă este dată de teorema formei normale Jordan^⁠(d), care afirmă că în această situație $A$ este similară cu o matrice superior triunghiulară de o formă foarte particulară. Rezultatul triunghiulării mai simple este însă adesea suficient și, în orice caz, utilizat în demonstrarea teoremei formei normale Jordan.^[3]^[6]

În cazul matricelor complexe este posibil să se spună mai multe despre triunghiularizare, și anume, că orice matrice pătrată $A$ are o descompunere Schur^⁠(d). Aceasta înseamnă că $A$ este unitar echivalentă (adică similară, folosind o matrice unitară^⁠(d) ca schimbare de bază) cu o matrice superior triunghiulară; acest lucru rezultă din luarea unei baze hermitiene pentru steag.

Triunghiularizare simultană

O mulțime de matrici $A_{1},...,A_{k}$ se spune că sunt triunghiularizabile simultan dacă există o bază sub care toate sunt superior triunghiulare; echivalent, dacă sunt superior triunghiularizabile printr-o singură matrice de similaritate $P$ . O astfel de mulțime de matrici este mai ușor de înțeles luând în considerare algebra matricilor pe care o generează, și anume toate polinoamele din $A_{i},$ notate $K[A_{1},...,A_{k}].$ Triunghiularizabilitatea simultană înseamnă că această algebră este conjugată în subalgebra Lie a matricilor superior triunghiulare și este echivalentă cu faptul că această algebră este o subalgebră Lie a unei subalgebre Borel^⁠(d).

Rezultatul de bază este că (peste un corp algebric închis), matricile comutative^⁠(d) $A,B$ sau mai general $A_{1},\ldots ,A_{k}$ sunt simultan triunghiularizabile. Acest lucru poate fi demonstrat arătând mai întâi că matricile comutative au un vector propriu comun și apoi inducând pe dimensiune ca înainte. Acest lucru a fost demonstrat de Frobenius, începând din 1878 pentru o pereche matrici comutative. În ceea ce privește o singură matrice, peste numerele complexe acestea pot fi triunghiularizate prin matrici unitare.

Faptul că matricile comutative au un vector propriu comun poate fi interpretat ca rezultat al teoremei zerourilor a lui Hilbert^⁠(d): matricile comutative formează o algebră comutativă $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ peste $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ care poate fi interpretată ca o varietate în spațiul afin $k$ -dimensional, iar existența unei valori proprii (comune) (prin urmare a unui vector propriu comun) corespunde faptului că această varietate are un punct (fiind nevid), care este conținutul teoremei zerourilor (slabe). În termeni algebrici, acești operatori corespund unei reprezentări a unei algebre^⁠(d) polinomiale în $k$ variabile.

Acest lucru este generalizat prin teorema lui Lie^⁠(d), care arată că orice reprezentare a unei algebre Lie rezolvabile^⁠(d) este simultan superior triunghiularizabilă, cazul matricelor comutative fiind cazul algebrei Lie abeliene, abelianul fiind a fortiori rezolvabil.

Mai general și mai exact, o mulțime de matrici $A_{1},\ldots ,A_{k}$ este simultan triunghiularizabilă dacă și numai dacă matricea $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ este nilpotentă pentru toate polinoamele $p$ cu $k$ variabile necomutative, unde $[A_{i},A_{j}]$ este comutatorul; pentru comutarea lui $A_{i},$ comutatorul se anulează, deci acest lucru este valabil. Acest lucru a fost demonstrat de Drazin, Dungey și Gruenberg în 1951,^[7] o demonstrație mai scurtă fiind dată de Prasolov în 1994.^[8] O direcție este clară: dacă matricile sunt simultan triunghiularizabile, atunci $[A_{i},A_{j}]$ este „strict” superior triunghiularizabilă (deci nilpotentă), ceea ce se păstrează prin înmulțire cu orice $A_{k}$ sau o combinație a acestora – va avea în continuare 0 pe diagonală în baza triunghiulatoare.

Algebre ale matricilor triunghiulare

În numeroase operații se conservă triunghiularitatea superioară:

Suma a două matrici superior triunghiulare este superior triunghiulară.
Produsul a două matrici superior triunghiulare este superior triunghiular.
Inversa unei matrice superior triunghiulare, dacă există, este superior triunghiulară.
Produsul unei matrice superior triunghiulare și al unui scalar este superior triunghiular.

Împreună, acestea înseamnă că matricile superior triunghiulare formează o subalgebră a algebrei asociative^⁠(d) a matricilor pătrate de dimensiune dată. În plus, acest lucru arată și că matricile superior triunghiulare pot fi privite ca o subalgebră Lie a algebrei Lie^⁠(d) a matricilor pătrate de dimensiune fixă, unde paranteza Lie [a, b] este dată de comutatorul $ab - ba.$ Algebra Lie a tuturor matricilor superior triunghiulare este o algebră Lie rezolvabilă. Este adesea denumită o subalgebră Borel a algebrei Lie a tuturor matricelor pătrate.

Toate aceste rezultate rămân valabile dacă se înlocuiește peste tot „superior triunghiular” cu „inferior triunghiular”. În particular, matricile inferior triunghiulare formează și ele o algebră Lie. Totuși, operațiile care combină matricele superior și inferior triunghiulare nu produc, în general, matrice triunghiulare. De exemplu, suma unei matrice superior triunghiulare și a uneia inferior triunghiulare poate fi orice matrice. Produsul unei matrice superior triunghiulare și a uneia inferior triunghiulare nu este neapărat triunghiular.

Mulțimea matricilor unitriunghiulare formează un grup Lie.

Mulțimea matricilor strict superior (sau inferior) triunghiulare formează o algebră Lie nilpotentă, notată ${\mathfrak {n}}.$ Această algebră este algebra Lie derivată din ${\mathfrak {b}},$ algebra Lie a tuturor matricilor superior triunghiulare; în simboluri, ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ În plus, ${\mathfrak {n}}$ este algebra Lie a grupului Lie de matrici unitriunghiulare.

De fapt, conform teoremei lui Engel^⁠(d), orice algebră Lie nilpotentă finit-dimensională este conjugată cu o subalgebră a matricilor strict superior triunghiulare, adică o algebră Lie nilpotentă finit-dimensională este simultan strict superior triunghiularizabilă.

Algebrele matricilor superior triunghiulare au o generalizare naturală în analiza funcțională care produce algebre imbricate pe spații Hilbert.

Subgrupuri Borel și subalgebre Borel

Mulțimea matricilor triunghiulare inversabile de un anumit tip (inferior sau superior) formează un grup Lie, care este un subgrup al grupului liniar general al tuturor matricelor inversabile. O matrice triunghiulară este inversabilă tocmai atunci când elementele sale diagonale sunt inversabile (nenule).

Peste numerele reale, acest grup nu este conex, având $2^{n}$ componente, în funcție de faptul că fiecare element pe diagonală este pozitiv sau negativ. Componenta identitate este reprezentată de matricele triunghiulare inversabile cu elemente pozitive pe diagonală, iar grupul tuturor matricelor triunghiulare inversabile este un produs semidirect^⁠(d) al acestui grup și al grupului de matrice diagonale cu 1 pe diagonală, corespunzătoare componentelor.

Algebra Lie a grupului Lie de matrici superior triunghiulare inversabile este mulțimea tuturor matricilor superior triunghiulare, nu neapărat inversabile, și este o algebră Lie rezolvabilă. Acestea sunt, respectiv, subgrupul Borel standard $B$ al grupului Lie $GL n$ și subalgebra Borel standard ${\mathfrak {b}}$ a algebrei Lie $gl n .$

Matricile superior triunghiulare sunt tocmai cele care stabilizează steagul standard. Cele inversabile dintre ele formează un subgrup al grupului liniar general, ale cărui subgrupuri conjugate sunt cele definite ca stabilizator al unui (alt) steag complet. Aceste subgrupuri sunt subgrupuri Borel. Grupul de matrici inferior triunghiulare inversabile este un astfel de subgrup, deoarece este stabilizatorul steagului standard asociat bazei standard în ordine inversă.

Stabilizatorul unui steag parțial obținut prin omiterea unor părți ale steagului standard poate fi descris ca un set de matrici bloc superior triunghiulare (dar elementele sale nu sunt toate matrici triunghiulare). Conjugatele unui astfel de grup sunt subgrupurile definite ca stabilizator al unui steag parțial. Aceste subgrupuri se numesc subgrupuri parabolice.

Exemple

Grupul de matrici superior unitriunghiulare 2×2 este izomorf față de grupul aditiv al câmpului scalarilor. În cazul numerelor complexe corespunde unui grup format din transformate Möbius parabolice. Matricile superior unitriunghiulare 3×3 formează grupul Heisenberg^⁠(d).

Note

^ ^a ^b ^c Gelu-Adrian Chisăliță, Metode numerice pentru sisteme de ecuații liniare (curs, 2010), Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2025-12-01
^ ^a ^b Trîmbițaș, 2020, p. 9
^ ^a ^b ^c en Axler, Sheldon Jay (1997). Linear Algebra Done Right (ed. 2nd). New York: Springer. pp. 86–87, 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC 54850562.
^ ^a ^b en Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix mathematics: theory, facts, and formulas (ed. 2). Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 168. ISBN 978-0-691-14039-1.
^ Trîmbițaș, 2020, p. 45
^ en Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (ed. 2nd). New York: Wiley. pp. 285–290. ISBN 0-471-01090-1. OCLC 3307396.
^ en Drazin, M. P.; Dungey, J. W.; Gruenberg, K. W. (1951). „Some Theorems on Commutative Matrices”. Journal of the London Mathematical Society. 26 (3): 221–228. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.221.
^ en Prasolov, V. V. (1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. Simeon Ivanov. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 178–179. ISBN 9780821802366. OCLC 30076024.

Bibliografie

Radu Trîmbițaș, Metode directe pentru sisteme de ecuații liniare (curs, 2020), Universitatea Babeș-Bolyai, accesat 2025-12-01

Vezi și

Portal Matematică

[GC-1] Gelu-Adrian Chisăliță, Metode numerice pentru sisteme de ecuații liniare (curs, 2010), Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2025-12-01

[RT9-2] Trîmbițaș, 2020, p. 9

[axler-3] Axler, Sheldon Jay (1997). Linear Algebra Done Right (ed. 2nd). New York: Springer. pp. 86–87, 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC 54850562.

[bernstein2009-4] Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix mathematics: theory, facts, and formulas (ed. 2). Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 168. ISBN 978-0-691-14039-1.

[5] Trîmbițaș, 2020, p. 45

[herstein-6] Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (ed. 2nd). New York: Wiley. pp. 285–290. ISBN 0-471-01090-1. OCLC 3307396.

[7] Drazin, M. P.; Dungey, J. W.; Gruenberg, K. W. (1951). „Some Theorems on Commutative Matrices”. Journal of the London Mathematical Society. 26 (3): 221–228. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.221.

[8] Prasolov, V. V. (1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. Simeon Ivanov. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 178–179. ISBN 9780821802366. OCLC 30076024.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]