Lucru mecanic virtual

Parte a seriei de articole despre
Mecanică clasică
${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ Principiul al II-lea al mecanicii
Istorie Cronologie
Ramuri Cinematică Dinamică Mecanică cerească aplicată a mediilor continue statistică Statică
Concepte Accelerație Energie cinetică potențială de rotație Forță aparentă contact frecare suprafață volum Impuls Inerție Lucru mecanic virtual Masă Moment cinetic de inerție Principiul lui D'Alembert Putere Randament mecanic Sistem de referință inerțial neinerțial Spațiu Timp Viteză relativă
Formulări Legile lui Newton Mecanică analitică Mecanică lagrangiană Mecanică hamiltoniană Ecuația Hamilton–Jacobi
Subiecte de bază Deplasare Legea atracției universale Mișcare ecuații armonică rectilinie Solid rigid
Rotație Rotație Sistem de referință în rotație Viteză unghiulară Accelerație unghiulară Forță centripetă centrifugă Forța Coriolis Frecvență Oscilație oscilator armonic amortizare Pendul conic Vibrație
Oameni de știință Galileo Huygens Newton Kepler Horrocks Halley Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Cauchy
Categorii Mecanică clasică

În mecanică lucrul mecanic virtual apare în aplicarea principiului acțiunii minime la studiul forțelor și al mișcării unui sistem mecanic. Lucrul mecanic al unei forțe care acționează asupra unei particule în timp ce aceasta se mișcă de-a lungul unei deplasări este diferit pentru diferite deplasări. Dintre toate deplasările posibile pe care le poate urma o particulă, numite deplasări virtuale, una va minimiza acțiunea. Prin urmare, această deplasare este cea urmată de particulă conform principiului acțiunii minime.

„Lucrul mecanic al unei forțe asupra unei particule de-a lungul unei deplasări virtuale este cunoscut sub numele de lucru mecanic virtual.”

Istoric, lucrul mecanic virtual și calculul variațional asociat au fost formulate pentru a analiza sisteme de corpuri rigide, dar au fost dezvoltate și pentru studiul mecanicii corpurilor deformabile.

Istoric

„Principiul lucrului virtual” a fost întotdeauna folosit într-o anumită formă în studiul staticii, încă din antichitate. A fost folosit de greci, arabi, latinii din Evul Mediu și italienii din Renaștere ca „legea pârghiilor”. Atunci când rezolvau probleme de statică, ideea de lucru mecanic virtual a fost folosită de mulți fizicieni importanți din secolului al XVII-lea, precum Galileo, Descartes, Torricelli, Wallis, și Huygens, în diferite grade de generalitate. Lucrând cu concepte leibniziene, Johann Bernoulli a sistematizat principiul lucrului mecanic virtual și a explicit conceptul de deplasare infinitezimală. El a reușit să rezolve probleme atât pentru corpuri rigide, cât și pentru fluide. Versiunea lui Bernoulli a legii lucrului mecanic virtual a apărut în scrisoarea sa către Pierre Varignon în 1715, care a fost publicată în 1725 în al doilea volum al lui Varignon din „Nouvelle mécanique ou Statique”. Această formulare a principiului este cunoscută astăzi sub numele de „principiul vitezelor virtuale” și este considerată de obicei prototipul principiilor contemporane ale lucrului mecanic virtual. În 1743 D'Alembert a publicat Traité de Dynamique, în care a aplicat principiul lucrului mecanic virtual, bazat pe lucrările lui Bernoulli, pentru a rezolva diverse probleme de dinamică. Ideea sa era de a converti o problemă de dinamică într-o problemă de statică prin introducerea forței inerțiale”. În 1768, Lagrange a prezentat principiul lucrului mecanic virtual într-o formă mai eficientă prin introducerea coordonatelor generalizate și l-a prezentat ca un principiu alternativ al mecanicii, prin care toate problemele de echilibru puteau fi rezolvate. O expunere sistematică a programului lui Lagrange de aplicare a acestei abordări la întreaga mecanică, atât în statică, cât și în dinamică, în esență principiul lui D'Alembert, a fost dată în lucrarea sa Mécanique Analytique din 1788. Deși Lagrange își prezentase versiunea principiului acțiunii minime înainte de această lucrare, el a recunoscut principiul lucrului mecanic virtual ca fiind mai fundamental, în principal pentru că putea fi considerat singur ca fundament pentru toată mecanica, spre deosebire de înțelegerea modernă conform căreia acțiunea minimă nu ia în considerare forțele neconservative.

Descriere

Dacă o forță acționează asupra unei particule în timp ce se deplasează de la punctul A la punctul B, atunci este posibil să se calculeze lucrul mecanic total efectuat de forță de-a lungul fiecărei traiectorii posibile pe care o poate urma particula. Principiul lucrului mecanic virtual, care este forma principiului acțiunii minime aplicat acestor sisteme, afirmă că traiectoria urmată efectiv de particulă este cea pentru care diferența dintre lucrul mecanic efectuat de-a lungul acestei traiectorii și a altor traiectorii apropiate este nulă (de ordinul întâi). Procedura formală de calcul a diferenței funcțiilor evaluate pentru traiectorii apropiate este o generalizare a derivatei cunoscute din calculul diferențial și este denumită calcul variațional.

Fie o particulă punctuală care se mișcă de-a lungul unei traiectorii descrise de o funcție $\mathbf {r} (t)$ din punctul $A$, unde $\mathbf {r} (t=t_{0}),$ în punctul $B$, unde $\mathbf {r} (t=t_{1}).$. Este posibil ca particula să se deplaseze din $A$ în $B$ de-a lungul unei traiectorii apropiate descrise de $\mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t),$ unde $\mathbf {r} (t)$ se numește variația lui <mathbf{r}(t).</math> Variația $\mathbf {r} (t)$ satisface cerința $\mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0\,.$ Componentele scalare ale variației $\delta r_{1}(t),$ $\delta r_{2}(t)$ și $\delta r_{3}(t)$ se numesc deplasări virtuale. Acest lucru poate fi generalizat la un sistem mecanic arbitrar definit prin coordonatele generalizate $q_{i},\,i=1,2,\ldots ,n.$ În acest caz, variația traiectoriei $q_{i}(t)$ este definită de deplasările virtuale $\delta q_{i},\,i=1,2,\ldots ,n.$

Lucrul mecanic virtual este lucrul mecanic total efectuat de forțele aplicate și de forțele de inerție ale unui sistem mecanic pe măsură ce acesta se deplasează printr-un set de deplasări virtuale. Atunci când se iau în considerare forțele aplicate unui corp în echilibru static, principiul acțiunii minime impune ca lucrul mecanic virtual al acestor forțe să fie nul.

Tratarea matematică

Fie o particulă P care se mișcă din punctul A în punctul B de-a lungul traiectoriei r(t), în timp ce i se aplică forța F(r(t)). Lucrul mecanic efectuat de forța F este dat de integrala:

$L=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt$

unde dr este elementul diferențial de-a lungul curbei care este traiectoria lui P, iar v este viteza. Este important de reținut că valoarea lucrului mecanic L depinde de traiectoria r(t).

Acum fie particula P care se mișcă din nou din punctul A în punctul B, dar acum se mișcă de-a lungul traiectoriei apropiate care diferă de r(t) prin variația δr(t) = εh(t,) unde ε este o constantă de scalare care poate fi făcută oricât de mică iar h(t) este o funcție arbitrară care satisface h(t₀) = h(t₁) = 0 . Se presupune că forța F(r(t) + εh(t)) este aceeași cu F(r(t)). Lucrul mecanic efectuat de forță este dat de integrala:

${\bar {L}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt$

Variația lucrului mecanic $\delta L$ asociată cu această cale apropiată, cunoscută sub numele de „lucru mecanic virtual”, poate fi calculată ca fiind:

$\delta L={\bar {L}}-L=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt$

Dacă nu există legături care acționează asupra mișcării lui P, atunci sunt necesari 3 parametri pentru a descrie complet poziția lui P' în orice moment t. Dacă există k (k ≤ 3) forțe de legături, atunci sunt necesari n = (3 − k) parametri. Prin urmare, putem defini n coordonate generalizate q_i(t) (i = 1, ... , n) și exprima r(t) și δr = εh(t) în funcție de coordonatele generalizate. Adică,

$\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t)$

$\mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t)$

Atunci derivata variației δr = εh(t) este dată de:

${\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}$

și se obține:

$\delta L=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right)$

Cerința ca lucrul mecanic virtual să fie nul pentru o variație arbitrară δr(t) = ε'h(t) este echivalentă cu mulțimea de cerințe:

$Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.$

Termenii Q_i se numesc forțe generalizate asociate cu deplasarea virtuală δr.

La echilibrul static

Echilibrul static este o stare în care forța și momentul rezultante care acționează asupra sistemului sunt nule. Cu alte cuvinte, atât impulsul liniar, cât și impulsul unghiular al sistemului se conservă. Principiul lucrului mecanic virtual afirmă că „lucrul mecanic virtual al forțelor aplicate este nul pentru toate mișcările virtuale ale sistemului din echilibrul mecanic static”. Acest principiu poate fi generalizat astfel încât să fie incluse și rotațiile tridimensionale: lucrul mecanic virtual al forțelor aplicate și al momentelor aplicate este nul pentru toate mișcările virtuale ale sistemului din echilibrul static. Aceasta este:

$\delta L=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\varphi } _{j}=0$

unde F_i , i = 1, 2, ..., m și M_j , j = 1, 2, ..., n sunt forțele, respectiv momentele aplicate, iar δr_i , i = 1, 2, ..., m și δφ_j, j = 1, 2, ..., n sunt deplasările virtuale, respectiv rotațiile virtuale.

Presupunând că sistemul este alcătuit din N particule și are f (f ≤ 6N) grade de libertate, este suficient să se utilizeze doar f' coordonate pentru a avea o descriere completă a mișcării sistemului. Cele f coordonate generalizate q_k , k = 1, 2, ..., f sunt definite astfel încât deplasările virtuale pot fi exprimate în funcție de aceste coordonate generalizate. Adică,

$\delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m$

$\delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n$

Lucrul mecanic virtual poate fi apoi reparametrizată^⁠(d) prin coordonatele generalizate:

$\delta L=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k}$

unde forțele generalizate Q_k sunt definite prin:

$Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f$

Kane arată că aceste forțe generalizate pot fi formulate și în funcție de raportul derivatelor temporale:

$Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f$

Principiul lucrului mecanic virtual impune ca lucrul mecanic virtual efectuat asupra unui sistem de către forțele F_i și momentele M_j să se anuleze dacă acesta se află în echilibru mecanic. Prin urmare, forțele generalizate Q_k sunt nule, adică:

$\delta L=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f$

Forțele din legături

Un beneficiu important al principiului lucrului mecanic virtual este acela că doar forțele care efectuează lucru mecanic pe măsură ce sistemul se mișcă printr-o deplasare virtuală sunt necesare pentru a determina mecanica sistemului. Într-un sistem mecanic există forțe care nu efectuează lucru mecanic în timpul unei deplasări virtuale, ceea ce înseamnă că nu trebuie luate în considerare în această analiză. Cele două exemple importante sunt forțele interne dintr-un corp rigid și forțele din legături dintr-o cuplă cinematică ideală.

Lánczos prezintă acest lucru drept postulatul: „Lucrul mecanic virtual al forțelor de reacțiune este întotdeauna nul pentru orice deplasare virtuală care corespunde cu constrângerile cinematice date.” Argumentul este următorul: principiul lucrului mecanic virtual afirmă că la echilibru lucrul mecanic virtual al forțelor aplicate unui sistem este nul. Legile lui Newton afirmă că la echilibru forțele aplicate sunt egale și opuse forțelor de reacțiune sau forțelor din legături. Aceasta înseamnă că și lucrul mecanic virtual al forțelor din legături trebuie să fie nul.

Legea pârghiilor

Aceasta este o gravură din Mechanics Magazine, publicat la Londra în 1824

O pârghie este percepută ca o bară rigidă conectată la sol printr-o articulație numită „punct de sprijin”. Pârghia este acționată prin aplicarea unei forțe (forța activă) F_A într-un punct A de pe bară, descris de vectorul de coordonate r_A. Pârghia exercită atunci o forță F_B în punctul B descris de vectorul r_B. Rotirea pârghiei în jurul punctului de sprijin P este definită de unghiul de rotație θ.

Fie vectorul de coordonate al punctului P care definește punctul de sprijin r_P, și se definesc lungimile:

$a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|$

care sunt distanțele de la punctul de sprijin la punctele A, respectiv B.

Fie vectorii e_A și e_B de la punctul de sprijin la punctele A, respectiv B:

$\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}$

Cu aceste notații se definesc vitezelor punctelor A, respectiv B:

$\mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp }$

unde e⊥
A și e⊥
B sunt vectori perpendiculari pe e_A, respectiv e_B.

Unghiul θ este coordonata generalizată care definește poziția pârghiei, prin urmare, folosind formula de mai sus pentru forțele aplicate unui mecanism cu un grad de libertate, forța generalizată este dată de:

$Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp })$

Se notează cu F_A și F_B componentele forțelor perpendiculare pe segmentele PA, respectiv PB. Aceste forțe sunt:

$F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }$

Aceste notații și principiul lucrului virtual duc la formula pentru forța generalizată:

$Q=aF_{A}-bF_{B}=0$

Raportul dintre forțele F_B și F_A este avantajul mecanic^⁠(d) al pârghiei, care obținut din principiul lucrului mecanic virtual este:

$AM={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}$

Această ecuație arată că, dacă distanța a de la punctul de sprijin la punctul A unde se aplică forța activă este mai mare decât distanța b de la punctul de sprijin la punctul B unde se aplică forța rezistentă, atunci pârghia amplifică forța de intrare. Invers, dacă distanța de la punctul de sprijin la punctul A este mai mică decât distanța de la punctul de sprijin la punctul B, atunci pârghia reduce mărimea forței active.

Aceasta este „legea pârghiilor”, demonstrată de Arhimede folosind un raționament geometric.

Angrenajul

Ilustrație dintr-un material de antrenament al Army Service Corps Training on Mechanical Transport, (1911): transmiterea mișcării și forței într-un sistem de angrenaje cu două trepte

Un angrenaj este format din roți dințate fixate pe arbori care se învârt în lagăre de pe un cadru, astfel încât dinții roților dințate să se angreneze. Dinții roților dințate sunt proiectați Astfel încât cercurile de divizare ale roților dințate care se angrenează se rotesc unele peste altele fără a aluneca, acest lucru asigurând o transmitere lină a rotației de la o roată dințată la alta. Pentru această analiză, fie un sistem de angrenaje care are un grad de libertate, ceea ce înseamnă că rotația unghiulară a tuturor roților dințate din sistemul de angrenaje este definită de unghiul roții dințate motoare.

Dimensiunea angrenajelor și ordinea în care acestea se cuplează definesc raportul dintre viteza unghiulară ω_A a roții motoare și viteza unghiulară ω_B a ultimei roți a sistemului, cunoscut sub numele de raport de transmisie al sistemului de angrenaje. Fie R raportul de transmisie, atunci:

${\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R$

Momentul motor M_A care acționează roata motoare G_A este transformat de sistemul de angrenaje în momentul de la ieșire M_B exercitat de roata dințată finală G_B. Dacă se presupune că roțile dințate sunt rigide și că nu există pierderi la angrenarea dinților roților dințate, atunci principiul lucrului virtual poate fi utilizat pentru a analiza echilibrul static al trenului de angrenaje.

Fie unghiul θ al roții dințate motoare coordonata generalizată a sistemului de angrenaje. Atunci raportul de transmisie R al sistemului de angrenaje definește viteza unghiulară a roții finale în funcție de roata dințată motoare, adică:

$\omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R$

Formula de mai sus pentru principiul lucrului virtual cu momente aplicate dă forța generalizată:

$Q=M_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-M_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=M_{A}-M_{B}/R=0$

Avantajul mecanic al sistemului de angrenaje este raportul dintre momentul de ieșire M_B și momentul motor M_A, iar ecuația de mai sus dă:

$AM={\frac {M_{B}}{M_{A}}}=R$

Astfel, raportul de transmisie al unui sistem de angrenaje definește și avantajul său mecanic. Acest lucru arată că, dacă roata dințată motoare se rotește mai repede decât roata dințată finală, atunci sistemul de angrenaje amplifică momentul motor. Și, dacă roata dințată motoare se rotește mai încet decât roata dințată finală, atunci sistemul de angrenaje reduce momentul motor.

Echilibrul dinamic la corpuri rigide

Dacă principiul lucrului mecanic virtual pentru forțele aplicate este utilizat asupra particulelor individuale ale unui corp rigid, principiul poate fi generalizat pentru un corp rigid: „Când un corp rigid aflat în echilibru este supus unor deplasări virtuale compatibile, lucrul mecanic virtual total al tuturor forțelor externe este nul; și invers, dacă lucrul mecanic virtual total al tuturor forțelor externe care acționează asupra unui corp rigid este nul, atunci corpul este în echilibru”.

Dacă un sistem nu se află în echilibru static, D'Alembert a arătat că, prin introducerea termenilor de accelerație din legile lui Newton ca forțe de inerție, această abordare este generalizată pentru a defini echilibrul dinamic. Rezultatul este forma lui D'Alembert a principiului lucrului virtual, care este utilizată pentru a deriva ecuațiile de mișcare pentru un sistem mecanic de corpuri rigide.

Expresia „deplasări compatibile” înseamnă că particulele rămân în contact și se deplasează împreună, astfel încât lucrul mecanic efectuat de perechile de forțe de acțiune/reacție inter-particule se anulează. Diverse forme ale acestui principiu au fost atribuite lui Johann Bernoulli (1667–1748) și Daniel Bernoulli (1700–1782).

Lectură suplimentară

• en Bathe, K.J. "Finite Element Procedures", Prentice Hall, 1996, ISBN: 0-13-301458-4
• en Charlton, T.M. Energy Principles in Theory of Structures, Oxford University Press, 1973, ISBN: 0-19-714102-1
• en Greenwood, Donald T. Classical Dynamics, Dover Publications Inc., 1977, ISBN: 0-486-69690-1
• en Hu, H. Variational Principles of Theory of Elasticity With Applications, Taylor & Francis, 1984, ISBN: 0-677-31330-6
• en Langhaar, H. L. Energy Methods in Applied Mechanics, Krieger, 1989.
• en Reddy, J.N. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002, ISBN: 0-471-17985-X
• en Shames, I. H. and Dym, C. L. Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, Taylor & Francis, 1995, ISBN: 0-89116-942-3
• en Tauchert, T.R. Energy Principles in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1974, ISBN: 0-07-062925-0
• en Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Pr, 1982, ISBN: 0-08-026723-8
• en Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods, CRC, 2002, ISBN: 0-8493-0700-7

Vezi și

• Calcul variațional
• Mecanică lagrangiană
• Principiul lui D'Alembert

Legături externe

• en Examples applications of the virtual work principle Arhivat în 1 decembrie 2022, la Wayback Machine.