Intersecția unei drepte cu un plan

Cele trei relații posibile între un plan și o dreaptă în spațiul tridimensional. (În fiecare caz este prezentată doar o porțiune a planului, care se extinde la infinit.)

În geometria analitică, intersecția unei drepte cu un plan în spațiul tridimensional poate fi mulțimea vidă, un punct sau o dreaptă. Este o dreaptă când toată dreapta este încorporată în plan și este mulțimea vidă dacă dreapta este paralelă cu planul, dar în afara acestuia. În caz contrar, dreapta traversează planul într-un singur punct.

Distingerea acestor cazuri și determinarea ecuațiilor pentru punct și dreaptă în ultimele cazuri sunt utile în grafica pe calculator, planificarea mișcării și detectarea coliziunilor.

Forma algebrică

În notație vectorială un plan poate fi descris ca mulțimea de puncte $\mathbf {p}$ pentru care

$(\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

unde $\mathbf {n}$ este vectorul normal la plan, iar $\mathbf {p_{0}}$ este un punct din plan. (Cu $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ este notat produsul scalar al vectorilor $\mathbf {a}$ și $\mathbf {b}$.)

Ecuația vectorială a dreptei este

$\mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d\quad d\in \mathbb {R}$

unde $\mathbf {l}$ este versorul direcției dreptei, $\mathbf {l_{0}}$ este un punct de pe dreaptă, iar $d$ este un scalar real. Înlocuind ecuația dreptei în ecuația planului, se obține:

$((\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d)-\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

Dezvoltând:

$(\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} )\ d+(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

se obține $d$:

$d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.$

Dacă $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0$ atunci dreapta și planul sunt paralele. Vor exista două cazuri: dacă $(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$ atunci dreapta este conținută în plan, adică dreapta intersectează planul în fiecare punct al dreptei. Altfel, dreapta și planul nu au niciun punct de intersecție.

Dacă $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0$ există un singur punct de intersecție. Valoarea lui $d$ poate fi calculată, iar punctul de intersecție, $\mathbf {p}$, este:

$\mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d$

Forma parametrică

Intersecția unei drepte cu un plan

O dreaptă este descrisă de toate punctele aflate într-o direcție dată față de un punct. Un punct general de pe o dreaptă care trece prin punctele $\mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})$ și $\mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})$ poate fi reprezentată prin

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t,\quad t\in \mathbb {R}$

unde $\mathbf {l} _{ab}=\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}$ este vecorul orientat dinspre $\mathbf {l} _{a}$ spre $\mathbf {l} _{b}\,.$

Similar, un punct general pe un plan determinat de triunghiul definit de punctele $\mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, $\mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ și $\mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ poate fi reprezentat prin

$\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,\quad u,v\in \mathbb {R}$

unde $\mathbf {p} _{01}=\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}$ este vecorul orientat dinspre $\mathbf {p} _{0}$ spre $\mathbf {p} _{1}$, iar $\mathbf {p} _{02}=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}$ este vecorul orientat dinspre $\mathbf {p} _{0}$ spre $\mathbf {p} _{2}\,.$

Punctul în care dreapta intersectează planul este, prin urmare, descris prin egalitatea dintre punctul de pe dreaptă și punctul din plan, rezultând ecuația parametrică:

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t=\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v$

Aceasta poate fi reformulată ca

$\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=-\mathbf {l} _{ab}t+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,$

care poate fi exprimată în formă matricială ca

${\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}},$

unde vectorii sunt vectori coloană.

Aceasta produce un sistem de ecuații liniare care poate fi rezolvat pentru $t$, $u$ și $v.$ Dacă soluția satisface condiția $t\in [0,1],$ atunci punctul de intersecție se află pe segmentul de dreaptă dintre $\mathbf {l} _{a}$ și $\mathbf {l} _{b},$ altfel se află în altă parte pe dreaptă. Similar, dacă soluția satisface condiția $u,v\in [0,1],$ atunci punctul de intersecție se află în paralelogramul format de punctul $\mathbf {p} _{0}$ și vectorii $\mathbf {p} _{01}$ și $\mathbf {p} _{02}.$ Dacă soluția satisface în plus (u+v) ≤ 1, atunci punctul de intersecție se află în triunghiul format de cele trei puncte $\mathbf {p} _{0}$, $\mathbf {p} _{1}$ și $\mathbf {p} _{2}\,.$

Determinantul matricei poate fi calculat ca

$\det({\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}})=-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})$

Dacă determinantul este zero, atunci nu există o soluție unică; dreapta este fie în plan, fie paralelă cu acesta.

Dacă există o soluție unică (determinantul nu este 0), atunci aceasta poate fi găsită prin inversând matricea și rearanjând:

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}},$

care se dezvoltă în

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}^{\mathrm {T} }\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}$

și apoi la

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\end{bmatrix}}$

obținându-se soluțiile:

$t={\frac {{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}$

$u={\frac {{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}$

$v={\frac {{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}.$

Atunci punctul de intersecție este:

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t$

Utilizări

În metoda ray tracing^⁠(d) din grafica digitală, o suprafață poate fi reprezentată ca un set de plane. Pentru a produce o imagine a suprafeței este utilizată intersecția unei raze de lumină cu fiecare plan. În reconstrucția 3D bazată pe vedere, un subdomeniu al vederii artificiale^⁠(d), valorile adâncimii sunt de obicei măsurate prin triangulație, care găsește intersecția dintre planul luminii și raza reflectată spre cameră.

Algoritmul poate fi generalizat pentru a acoperi intersecția cu alte figuri plane, în special intersecția unei drepte cu un poliedru.

Vezi și

• Intersecția unei drepte cu un poliedru
• Intersecția a două plane