Intersecția a două plane

Două plane care se intersectează în spațiul tridimensional

În geometrie intersecția a două plane într-un spațiu tridimensional este în general o dreaptă. Dacă planele sunt paralele, intersecția lor este mulțimea vidă, iar dacă sunt confundate este întreg planul (oricare din ele).

Formulare

Dreapta de intersecție dintre două plane $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ și $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ unde ${\boldsymbol {n}}_{i}$ sunt normalele la cele două plane este dată de:

${\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$

unde

$c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}$

$c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}$

Obținere

Dreapta de intersecție se obține observând că ea trebuie să fie perpendiculară pe ambele normale ale planelor, prin urmare să fie paralelă cu produsul lor vectorial ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}$ (acest produs vectorial este zero dacă și numai dacă planele sunt paralele, prin urmare nu se intersectează sau coincid în întregime).

Restul expresiei se obține prin găsirea unui punct arbitrar pe dreaptă. Pentru a face acest lucru, se consideră că orice punct din spațiu poate fi scris ca ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$, deoarece $\{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}$ este o bază. Se dorește găsirea unui punct care se află pe ambele plane (adică la intersecția lor), așadar se introduce această ecuație în fiecare dintre ecuațiile planelor pentru a obține două ecuații simultane care pot fi rezolvate pentru $c_{1}$ și $c_{2}$.

Dacă se presupune în plus că ${\boldsymbol {n}}_{1}$ și ${\boldsymbol {n}}_{2}$ sunt ortonormale, atunci cel mai apropiat punct de pe dreapta de intersecție față de origine este ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$. Dacă nu este cazul, atunci trebuie utilizată o procedură mai complexă.

Unghiul diedru

Articol principal: Unghi diedru

Fiind date două plane care se intersectează descrise de $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ și $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,,$ unghiul diedru dintre ele este dat de unghiul $\alpha$ dintre direcțiile normale la cele două plane:

$\cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$