Formula lui Bretschneider

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search
Un patrulater convex oarecare

În geometrie, formula lui Bretschneider calculează aria unui patrulater convex oarecare în funcție de lungimea laturilor acestuia:

unde a, b, c, d reprezintă laturile, - semiperimetrul, iar și două unghiuri opuse.

A fost descoperită în 1842 de Carl Anton Bretschneider. Formula a fost demonstrată în același și de Karl Georg Christian von Staudt.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Dacă A este aria patrulaterului, avem:

Deci:

Din teorema cosinusului se obține:

și care poate fi rescris ca:

Înlocuind în formula de mai sus pentru rezultă:

Aceasta mai poate fi scris ca:

Introducem semiperimetrul:

de unde

de unde rezultă formula lui Bretschneider.

Formule conexe[modificare | modificare sursă]

Formula lui Bretschneider generalizează formula lui Brahmagupta care la rândul acesteia generalizează formula lui Heron.

Legături externe[modificare | modificare sursă]