Formula lui Bretschneider

Un patrulater convex oarecare

În geometrie, formula lui Bretschneider calculează aria unui patrulater convex oarecare în funcție de lungimea laturilor acestuia:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}.$

unde a, b, c, d reprezintă laturile, $s={\frac {a+b+c+d}{2}}$ - semiperimetrul, iar $\alpha \!$ și $\gamma \!$ două unghiuri opuse.

A fost descoperită în 1842 de Carl Anton Bretschneider. Formula a fost demonstrată în același și de Karl Georg Christian von Staudt.

Demonstrație

Dacă A este aria patrulaterului, avem:

${\begin{aligned}K&={\text{aria }}\triangle ADB+{\text{aria }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}$

Deci:

$4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,$

Din teorema cosinusului se obține:

$a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,$

și care poate fi rescris ca:

${\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,$

Înlocuind în formula de mai sus pentru $4A^{2}$ rezultă:

$4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma ).\,$

Aceasta mai poate fi scris ca:

$16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).$

Introducem semiperimetrul:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}},$

de unde

$16A^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)$

de unde rezultă formula lui Bretschneider.

Formule conexe

Formula lui Bretschneider generalizează formula lui Brahmagupta care la rândul acesteia generalizează formula lui Heron.

Legături externe

• en Wolfram MathWorld