Energie cinetică turbulentă

Energie cinetică turbulentă
Simbol	$TKE$ , $k$
În unități SI fundamentale	J/kg = m²⋅s⁻²
Mărimi derivate din alte mărimi	$k={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right)$

În dinamica fluidelor energia cinetică turbulentă (în engleză turbulence kinetic energy – TKE) este energia cinetică medie pe unitatea de masă asociată cu vârtejurile dintr-o curgere turbulentă. Din punct de vedere fizic, energia cinetică a turbulenței este caracterizată prin media pătratică a fluctuațiilor de viteză măsurate. În ecuațiile Navier–Stokes mediate Reynolds, energia cinetică a turbulenței poate fi calculată pe baza metodei de închidere, adică a unui model de turbulență.

Energia cinetică turbulentă poate fi dfinită ca semisuma varianțelor σ² (pătratul deviațiilor standard σ) a fluctuațiilor componentelor vitezelor:

k={\frac {1}{2}}(\sigma _{u}^{2}+\sigma _{v}^{2}+\sigma _{w}^{2})={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right)

unde fiecare componentă a vitezei turbulente este diferența dintre viteza instantanee și cea medie: $u'=u-{\overline {u}}$ (descompunerea Reynolds). Media și varianța sunt, respectiv:

{\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0\\{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt=\sigma _{u}^{2}\geq 0\end{aligned}}

Energia cinetică turbulentă poate fi produsă de forțele tăietoare prin frecare, de flotabilitatea fluidului sau prin antrenare externă la scări turbionare de joasă frecvență (scară integrală). Energia cinetică a turbulenței este apoi transferată în josul cascadei de energie a turbulenței și este disipată de forțe viscoase la microscări Kolmogorov^⁠(d). Acest proces de producere, transport și disipare poate fi exprimat ca:^[1]

{\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon

unde:

{\tfrac {Dk}{Dt}}

este derivata materială^⁠(d) a energiei cinetice turbulente a curgerii,

\nabla • T'

este transportul energiei cinetice turbulente a turbulențelor,

P

este producția de energie cinetică turbulentă,

ε

este disipația de energie cinetică turbulentă.

Presupunând că viscozitatea moleculară este constantă și folosind aproximarea Boussinesq^⁠(d), ecuația energiei cinetice turbulente este:

\underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{derivata}} \atop {\text{locală}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{advecție}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{difuzia}} \atop {\text{presiunii}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{transport}} \atop {\text{turbulent}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{transport}} \atop {\text{molecular}}} \atop {\text{viscos}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{producție}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{disipație}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{flotabilitate }} \atop b}

Prin examinarea acestor fenomene, se poate determina bilanțul energiei cinetice turbulente pentru o anumită curgere.^[2]

În simulări numerice

În mecanica fluidelor numerică este imposibil să se simuleze numeric turbulența fără a discretiza câmpul de curgere până la microscale Kolmogorov, ceea ce se numește simulare numerică directă (în engleză direct numerical simulation – DNS). Deoarece simulările DNS sunt exorbitant de scumpe din cauza resurselor necesare pentru memorie, putere de calcul și de stocare, pentru a simula efectele turbulenței se folosesc alte metode, și anume, modelele de turbulență. Se utilizează o varietate de modele, dar, în general, energia cinetică turbulentă este o proprietate fundamentală a curgerii care trebuie calculată pentru ca turbulența fluidului să poată fi modelată.

Ecuațiile Navier–Stokes mediate Reynolds

Simulările cu Ecuațiile Navier–Stokes mediate Reynolds folosesc ipoteza Boussinesq a viscozității turbulente.^[3] pentru a calcula tensiunile Reynolds care rezultă din procedura de mediere:

{\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),

unde $\nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.$

Metoda exactă de rezolvare a energiei cinetice turbulente depinde de modelul de turbulență utilizat; modelele $k-ε$ (k–epsilon) presupun izotropia turbulenței, caz în care tensiunile normale sunt egale:

{\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.

Această presupunere simplifică modelarea mărimilor de turbulență ( $k$ și $ε$ ), dar nu va fi precisă în cazurile în care domină comportamentul anizotrop al tensiunilor turbulente, iar implicațiile acestui fapt în producerea turbulenței duc și la o supraestimare, deoarece producția depinde de rata medie de deformare și nu de diferența dintre tensiunile normale (deoarece acestea sunt presupuse egale).^[4]

Modelele tensiunilor Reynolds (RSM) utilizează o metodă diferită pentru a închide tensiunile Reynolds, prin care tensiunile normale nu sunt considerate izotrope, astfel încât problema cu producerea energiei cinetice turbulente este evitată.

Condiții inițiale

Prescrierea precisă a energiei cinetice turbulente drept condiție inițială în simulările MFN este importantă pentru a prezice cu exactitate debitele, în special în simulările cu număr Reynolds mare. Un exemplu în care se consideră o conductă netedă este prezentat mai jos.

k={\frac {3}{2}}(UI)^{2}

unde $I$ este intensitatea inițială a turbulenței, [%], dată mai jos, iar $U$ este valoarea vitezei inițiale. Ca exemplu pentru curgerile din țevi, cu numărul Reynolds bazat pe diametrul conductei:

I=0,16Re^{-{\frac {1}{8}}}

Aici $l$ este scara de lungime a turbulenței sau a vârtejurilor, dată mai jos, iar $c μ$ este un parametru al modelului $k-ε$ a cărui valoare este de obicei dată ca 0,09;

\varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}

Scara lungimii turbulente poate fi estimată ca:

l=0,07L

unde $L$ este lungimea caracteristică. Pentru curgerile interne, aceasta poate lua valoarea lățimii (sau diametrului) țevii, sau diametrul hidraulic.^[5]

Note

^ en Pope, S. B. (2000). Turbulent Flows. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 122–134. ISBN 978-0521598866.
^ en Baldocchi, D. (2005), Lecture 16, Wind and Turbulence, Part 1, Surface Boundary Layer: Theory and Principles , Ecosystem Science Division, Department of Environmental Science, Policy and Management, University of California, Berkeley, CA: USA
^ fr Boussinesq, J. V. (1877). „Théorie de l'Écoulement Tourbillant”. Mem. Présentés Par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr. 23: 46–50.
^ en Laurence, D. (2002). „Applications of Reynolds Averaged Navier Stokes Equations to Industrial Flows”. În van Beeck, J. P. A. J.; Benocci, C. Introduction to Turbulence Modelling, Held March 18–22, 2002 at Von Karman Institute for Fluid Dynamics. Sint-Genesius-Rode: Von Karman Institute for Fluid Dynamics.
^ en Flórez Orrego; et al. (2012). „Experimental and CFD study of a single phase cone-shaped helical coiled heat exchanger: an empirical correlation”. Proceedings of ECOS 2012 – The 25th International Conference on Efficiency, Cost, Optimization, Simulation and Environmental Impact of Energy Systems, June 26–29, 2012, Perugia, Italy. ISBN 978-88-6655-322-9.

Lectură suplimentară

en Turbulence kinetic energy at CFD Online.
en Absi, R. (2008). „Analytical solutions for the modeled $k$ -equation”. Journal of Applied Mechanics. 75 (44501): 044501. Bibcode:2008JAM....75d4501A. doi:10.1115/1.2912722.
en Lacey, R. W. J.; Neary, V. S.; Liao, J. C.; Enders, E. C.; Tritico, H. M. (2012). "The IPOS framework: linking fish swimming performance in altered flows from laboratory experiments to rivers." River Res. Applic. 28 (4), pp. 429–443. doi:10.1002/rra.1584.
en Wilcox, D. C. (2006). "Turbulence modeling for CFD". Third edition. DCW Industries, La Canada, USA. ISBN 978-1-928729-08-2.

Portal Fizică

[1] Pope, S. B. (2000). Turbulent Flows. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 122–134. ISBN 978-0521598866.

[2] Baldocchi, D. (2005), Lecture 16, Wind and Turbulence, Part 1, Surface Boundary Layer: Theory and Principles , Ecosystem Science Division, Department of Environmental Science, Policy and Management, University of California, Berkeley, CA: USA

[3] r Boussinesq, J. V. (1877). „Théorie de l'Écoulement Tourbillant”. Mem. Présentés Par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr. 23: 46–50.

[4] Laurence, D. (2002). „Applications of Reynolds Averaged Navier Stokes Equations to Industrial Flows”. În van Beeck, J. P. A. J.; Benocci, C. Introduction to Turbulence Modelling, Held March 18–22, 2002 at Von Karman Institute for Fluid Dynamics. Sint-Genesius-Rode: Von Karman Institute for Fluid Dynamics.

[5] Flórez Orrego; et al. (2012). „Experimental and CFD study of a single phase cone-shaped helical coiled heat exchanger: an empirical correlation”. Proceedings of ECOS 2012 – The 25th International Conference on Efficiency, Cost, Optimization, Simulation and Environmental Impact of Energy Systems, June 26–29, 2012, Perugia, Italy. ISBN 978-88-6655-322-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]