Ecuația lui Poisson

Ecuația lui Poisson este o ecuație cu derivate parțiale eliptică foarte utilă în fizica teoretică. De exemplu, soluția ecuației lui Poisson este câmpul potențial al unei anumite sarcini electrice sau a distribuției densității masei; cu câmpul potențial cunoscut se poate calcula apoi câmpul electrostatic sau gravitațional (de forță) corespunzător. Este o generalizare a ecuației lui Laplace, care este frecvent întâlnită și în fizică. Ecuația este numită după matematicianul și fizicianul francez Siméon Denis Poisson, care a publicat-o în 1823.^[1]^[2]

Enunțul ecuației

Ecuația lui Poisson este:

\Delta \varphi =f

unde $\Delta$ este laplacianul, iar $f$ și $\varphi$ sunt funcții reale sau complexe pe o varietate. Uzual, $f$ este dată, iar $\varphi$ este căutată. Când varietatea este spațiul euclidian, laplacianul este adesea notat cu $\nabla 2$ , așadar ecuația lui Poisson este frecvent scrisă ca:

\nabla ^{2}\varphi =f

În coordonate carteziene tridimensionale, ea ia forma:

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z)

Când $f=0$ se obține ecuația lui Laplace.

Ecuația lui Poisson poate fi rezolvată folosind o funcție Green^⁠(d):

\varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}r'

unde integrala este peste tot spațiul. De reținut că $r$ este locul unde este observat câmpul, unde se rezolvă. Iar integrarea lui $r'$ este echivalentă cu integrarea tuturor „surselor”. Într-un sens, se integrează toate efectele surselor la $r'$ pentru a obține ceea ce se vede la $r$ (cu adăugarea dispersiei punctuale a sursei). Există diverse metode pentru rezolvarea numerică, cum ar fi metoda relaxării, un algoritm iterativ.

Aplicații în fizică și inginerie

Gravitația newtoniană

Articol principal: Câmp gravitațional

În cazul unui câmp gravitațional g datorat unui obiect masiv atrăgător cu densitatea $ρ,$ pentru a obține ecuația lui Poisson corespunzătoare pentru gravitație se poate utiliza legea lui Gauss pentru gravitație^⁠(d) în formă diferențială. Legea lui Gauss pentru gravitație este

\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho

Întrucât câmpul gravitațional este conservativ (și irotațional), acesta poate fi exprimat în termeni de potențial scalar $\phi$ :

\mathbf {g} =-\nabla \phi

Înlocuind în legea lui Gauss:

\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,

se obține ecuația lui Poisson pentru gravitație:

\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho

Dacă densitatea masei este zero, ecuația lui Poisson se reduce la ecuația lui Laplace. Funcția lui Green corespunzătoare poate fi utilizată pentru a calcula potențialul la distanța $r$ față de un punct central cu masa $m$ (adică soluția fundamentală^⁠(d)). În spațiul tridimensional potențialul este:

\phi (r)={\frac {-Gm}{r}}

care este echivalentă cu legea atracției universale a lui Newton.

Electrostatică

Articol principal: Electrostatică

Multe probleme din electrostatică, cum ar fi cele din conductoarele electrice, sunt guvernate de ecuația lui Poisson, care leagă potențialul electric $φ$ de densitatea sarcinii libere $\rho _{f}.$

Detaliile matematice ale ecuației lui Poisson, exprimate în mod obișnuit în unități SI, descriu modul în care distribuția sarcinilor libere generează potențialul electrostatic într-o anumită zonă.

Pornind de la legea lui Gauss^⁠(d) pentru electricitate (de asemenea, una dintre ecuațiile lui Maxwell) în formă diferențială:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}

unde $\mathbf {\nabla } \cdot$ este divergența, D este inducția electrică, iar $ρ f$ este densitatea sarcinilor libere.

Presupunând că mediul este liniar, izotrop și omogen, se obține ecuația constitutivă:

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}

unde $ε$ este permitivitatea mediului, iar E este câmpul electric.

Înlocuind aceasta în legea lui Gauss și presupunând că $ε$ este constantă spațial în zona de interes, rezultă:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}

În electrostatică se presupune că nu există câmp magnetic (argumentul care urmează este valabil și în prezența unui câmp magnetic constant).^[3] Atunci

\nabla \times \mathbf {E} =0

unde $\nabla\times$ este rotorul. Această ecuație înseamnă că se poate scrie câmpul electric ca gradientul unei funcții scalare $φ$ (numită potențial electric), deoarece rotorul oricărui gradient este zero. Astfel, se poate scrie:

\mathbf {E} =-\nabla \varphi

unde semnul minus este introdus astfel încât $\varphi$ este identificat ca energia potențială electrostatică pe unitatea de sarcină.^[4]

Obținerea ecuației lui Poisson în aceste circumstanțe este simplă. Înlocuind gradientul de potențial cu câmpul electric,

\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}

se obține direct ecuația lui Poisson pentru electrostatică, care este:

\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.

Specificarea ecuației lui Poisson pentru potențial necesită cunoașterea distribuției densității de sarcină. Dacă densitatea de sarcină este zero, atunci rezultă ecuația lui Laplace. Dacă densitatea de sarcină urmează o distribuție Boltzmann, atunci rezultă ecuația Poisson-Boltzmann. Ecuația Poisson-Boltzmann este utilă în dezvoltarea teoriei Debye-Hückel a soluțiilor de electroliți diluați.

Folosind o funcție Green, potențialul la distanța $r$ față de o sarcină punctuală centrală $Q$ (adică soluția fundamentală) este:

\varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}

care este legea lui Coulomb a electrostaticii. (Din motive istorice și spre deosebire de modelul gravitațional de mai sus, factorul $4\pi$ apare aici, dar nu și în legea lui Gauss.)

Discuția de mai sus presupune că câmpul magnetic nu variază în timp. Aceeași ecuație Poisson apare chiar dacă acesta variază în timp, cât timp se utilizează calibrarea Coulomb. În această clasă mai generală de cazuri, calcularea lui $\varphi$ nu mai este suficientă pentru a calcula $E,$ deoarece $E$ depinde și de potențialul magnetic vector^⁠(d) $A,$ care trebuie calculat independent.

Potențialul densității sarcinii gaussiene

Dacă există o densitate de sarcină statică gaussiană cu simetrie sferică

\rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}

unde $Q$ este sarcina totală, atunci soluția $φ (r)$ a ecuației lui Poisson

\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}

este dată de

\varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)

unde $\operatorname {erf} (x)$ este funcția de eroare^⁠(d).^[5] Această soluție poate fi verificată explicit prin calculul lui $\nabla ^{2}\varphi .$

De notat că pentru $r$ mult mai mare ca $σ$ , ${\textstyle \operatorname {erf} (r/{\sqrt {2}}\sigma )}$ tinde la 1,^[6] iar potențialul $\varphi (r)$ tinde la potențialul sarcinii punctuale:

\varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}

așa cum era de așteptat. În plus, funcția de eroare se apropie extrem de repede de 1 pe măsură ce argumentul său crește; în practică, pentru $r>3,4\,\sigma$ eroarea relativă este mai mică de 1 la mie.^[6]

Reconstrucția suprafeței

Reconstrucția suprafeței este problema inversă. Scopul este de a reconstrui digital o suprafață netedă pe baza unui număr mare de puncte $p i$ (un „nor de puncte”) unde în fiecare punct există și o estimare a normalei locale la suprafață $n i .$ ^[7] Ecuația lui Poisson poate fi utilizată pentru a rezolva această problemă cu o tehnică numită reconstrucția suprafeței Poisson.^[8]

Scopul acestei tehnici este de a reconstrui o funcție implicită $f$ a cărei valoare este zero în punctele $p i$ și al cărei gradient în punctele $p i$ este egal cu vectorii normali $n i .$ Mulțimea $(p i, n i)$ este astfel modelată ca un câmp vectorial euclidian continuu $V$ . Funcția implicită $f$ se găsește prin integrarea câmpului vectorial $V .$ Întrucât nu orice câmp vectorial este gradientul unei funcții, problema poate avea sau nu o soluție: condiția necesară și suficientă pentru ca un câmp vectorial neted $V$ să fie gradientul unei funcții $f$ este ca rotorul lui $V$ să fie nul. În cazul în care această condiție este dificil de impus, este totuși posibil să se efectueze o ajustare prin metoda celor mai mici pătrate pentru a minimiza diferența dintre $V$ și gradientul lui $f$ .

Pentru a aplica eficient ecuația lui Poisson la problema reconstrucției suprafeței, este necesar să se găsească o discretizare bună a câmpului vectorial $V$ . Abordarea de bază este de a lega datele cu o grilă cu diferențe finite. Pentru o funcție evaluată la nodurile unei astfel de grile, gradientul său poate fi reprezentat ca fiind evaluat pe grile decalate, adică pe grile ale căror noduri se află între nodurile grilei originale. Este convenabil să se definească trei grile decalate, fiecare deplasată într-o singură direcție corespunzătoare componentelor datelor normale. Pe fiecare grilă decalata se efectuează o interpolare triliniară pe mulțimea de puncte. Ponderile de interpolare sunt apoi utilizate pentru a distribui valoarea componentei asociate a lui n_i pe nodurile celulei grilei decalate care conține $p i .$ Kazhdan și coautorii oferă o metodă mai precisă de discretizare folosind o grilă adaptivă cu diferențe finite, adică celulele grilei sunt mai mici (grila este mai fin divizată) acolo unde există mai multe puncte de date.^[8] Aceștia sugerează implementarea acestei tehnici cu un octree^⁠(d) adaptiv.

Dinamica fluidelor

Pentru ecuațiile Navier–Stokes incompresibile, date de

{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\end{aligned}}

ecuația câmpului de presiuni $p$ este un exemplu de ecuație Poisson neliniară:

{\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}\end{aligned}}

unde $\operatorname {Tr}$ este operaorul urmă, iar aici ea nu este definită de semn.

Termodinamică

Conducția termică este modelată prin intermediul ecuației propagării căldurii. Conducția termică în stare staționară cu un termen sursă este modelată prin intermediul următoarei ecuații Poisson:

\nabla ^{2}\vartheta =-{\frac {\Phi }{\lambda }}

unde $\vartheta$ este temperatura, $\Phi$ este termenul surselor de căldură, iar $\lambda$ is conductivitatea termică.

Note

↑ en Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E., ed. (2005), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer, p. 503, ISBN 9780922152766
↑ fr Poisson (1823). „Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement” [Memoir on the theory of magnetism in motion]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France. 6: 441–570. de la p. 463:
Donc, d'après ce qui précède, nous aurons enfin:
${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi$
selon que le point M sera situé en dehors, à la surface ou en dedans du volume que l'on considère.
$V$ este definit (p. 462) ca:
$V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz'$
unde, în cazul electrostaticii, integrala se efectuează pe volumul corpului încărcat, $(x',y',z')$ sunt coordonatele punctelor care se află în interiorul sau pe volumul corpului încărcat, $k'$ este o funcție dată de variabilele $(x',y,'z'),$ iar în electrostatică $k'$ ar fi o măsură a densității sarcinii, iar $\rho$ este definită ca lungimea unei raze care se pornește din punctul $M$ până la un punct care se află în interiorul sau pe corpul încărcat. Coordonatele punctului $M$ sunt notate cu $(x,y,z),$ iar $k$ reprezintă valoarea lui $k'$ (densitatea sarcinii) în $M$ .
↑ Griffiths, 2017, pp. 77–78
↑ Griffiths, 2017, pp. 83–84
↑ en Salem, M.; Aldabbagh, O. (2024). „Numerical Solution to Poisson's Equation for Estimating Electrostatic Properties Resulting from an Axially Symmetric Gaussian Charge Density Distribution”. Mathematics. 12 (13): 1948. doi:10.3390/math12131948 .
1 2 en Oldham, K. B.; Myland, J. C.; Spanier, J. (2008). „The Error Function erf(x) and Its Complement erfc(x)”. An Atlas of Functions. New York, NY: Springer. pp. 405–415. doi:10.1007/978-0-387-48807-3_41. ISBN 978-0-387-48806-6.
↑ en Calakli, Fatih; Taubin, Gabriel (2011). „Smooth Signed Distance Surface Reconstruction” (PDF). Pacific Graphics. 30 (7).
1 2 en Kazhdan, Michael; Bolitho, Matthew; Hoppe, Hugues (2006). „Poisson surface reconstruction”. Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing (SGP '06). Eurographics Association, Aire-la-Ville, Switzerland. pp. 61–70. ISBN 3-905673-36-3.

Bibliografie

en Griffiths, D. J. (2017). Introduction to Electrodynamics (ed. 4th). Cambridge University Press.

Lectură suplimentară

en Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence (RI): American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
en Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical Methods of Physics (ed. 2nd). New York: W. A. Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
en Polyanin, Andrei D. (2002). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton (FL): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

Vezi și

Legături externe

en Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Poisson equation”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
en Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations

Portal Matematică
Portal Fizică

[1] Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E., ed. (2005), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer, p. 503, ISBN 9780922152766

[2] r Poisson (1823). „Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement” [Memoir on the theory of magnetism in motion]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France. 6: 441–570. de la p. 463:
Donc, d'après ce qui précède, nous aurons enfin:
${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi$
selon que le point M sera situé en dehors, à la surface ou en dedans du volume que l'on considère.
$V$ este definit (p. 462) ca:
$V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz'$
unde, în cazul electrostaticii, integrala se efectuează pe volumul corpului încărcat, $(x',y',z')$ sunt coordonatele punctelor care se află în interiorul sau pe volumul corpului încărcat, $k'$ este o funcție dată de variabilele $(x',y,'z'),$ iar în electrostatică $k'$ ar fi o măsură a densității sarcinii, iar $\rho$ este definită ca lungimea unei raze care se pornește din punctul $M$ până la un punct care se află în interiorul sau pe corpul încărcat. Coordonatele punctului $M$ sunt notate cu $(x,y,z),$ iar $k$ reprezintă valoarea lui $k'$ (densitatea sarcinii) în $M$ .

[3] Griffiths, 2017, pp. 77–78

[4] Griffiths, 2017, pp. 83–84

[5] Salem, M.; Aldabbagh, O. (2024). „Numerical Solution to Poisson's Equation for Estimating Electrostatic Properties Resulting from an Axially Symmetric Gaussian Charge Density Distribution”. Mathematics. 12 (13): 1948. doi:10.3390/math12131948 .

[Oldham-6] 1 2 en Oldham, K. B.; Myland, J. C.; Spanier, J. (2008). „The Error Function erf(x) and Its Complement erfc(x)”. An Atlas of Functions. New York, NY: Springer. pp. 405–415. doi:10.1007/978-0-387-48807-3_41. ISBN 978-0-387-48806-6.

[7] Calakli, Fatih; Taubin, Gabriel (2011). „Smooth Signed Distance Surface Reconstruction” (PDF). Pacific Graphics. 30 (7).

[Kazhdan06-8] 1 2 en Kazhdan, Michael; Bolitho, Matthew; Hoppe, Hugues (2006). „Poisson surface reconstruction”. Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing (SGP '06). Eurographics Association, Aire-la-Ville, Switzerland. pp. 61–70. ISBN 3-905673-36-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]