Ecuația funcțională a lui Cauchy

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

Ecuația lui Cauchy pe [modificare | modificare sursă]

Ecuația funcțională considerată de Cauchy încă înainte de anul 1900, s-a dovedit deosebit de dificilă.Determinarea soluțiilor discontinue ale acestei ecuații a dat de lucru multor matematicieni.

Noțiuni introductive[modificare | modificare sursă]

Definiție: Ecuația funcțională
se numește ecuația lui Cauchy iar soluțiile ei se numesc funcții aditive.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Teoremă: Dacă este o funcție aditivă, atunci :
(a) pentru orice
(b) pentru orice și
(c) Funcția este funcție aditivă și restricția ei la este

Demonstrație: Din condiția
prin inducție rezultă
și în particular


deci
Deci
Avem:
deci
și

deci
Pentru obținem deci punctele (a), (b) din teoremă sunt demonstrate.
(c) Din (a) deci

Avem
deci este aditivă.

Observația:Dacă este o funcție aditivă și atunci sau este o mulțime densă în


Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  1. V. Pop, Ecuații funcționale. Ecuații clasice și probleme, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002.
  2. J. Aczel, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York and London, 1966.

Vezi și[modificare | modificare sursă]