Ecuația lui Cauchy pe [modificare | modificare sursă]
Ecuația funcțională considerată de Cauchy încă înainte de anul 1900, s-a dovedit deosebit de dificilă.Determinarea soluțiilor discontinue ale acestei ecuații a dat de lucru multor matematicieni.
Definiție: Ecuația funcțională
se numește ecuația lui Cauchy iar soluțiile ei se numesc funcții aditive.
Teoremă: Dacă este o funcție aditivă, atunci :
(a) pentru orice
(b) pentru orice și
(c) Funcția este funcție aditivă și restricția ei la este
Demonstrație: Din condiția
prin inducție rezultă
și în particular
deci
Deci
Avem:
deci
și
deci
Pentru obținem deci punctele (a), (b) din teoremă sunt demonstrate.
(c) Din (a) deci
Avem
deci este aditivă.
Observația:Dacă este o funcție aditivă și atunci sau este o mulțime densă în
- V. Pop, Ecuații funcționale. Ecuații clasice și probleme, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002.
- J. Aczel, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York and London, 1966.