Ecuația forței vii

În mecanica spațială, ecuația forței vii (în franceză L'équation de la force vive, iar în engleză Vis-viva equation) este o ecuație importantă a mișcării corpurilor pe orbită. Este rezultatul legii conservării energiei potrivit căreia suma energiilor cinetice și potențiale este constantă în orice punct al orbitei.

Ecuația forței vii

Ecuația forței vii este definită de:

$v={\sqrt {GM\left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}}$

unde:

• $v\,\!$ este viteza relativă a celor două corpuri;
• $r\,\!$ este distanța dintre cele două corpuri;
• $a\,\!$ este semiaxa majoră;
• $G\,\!$ este constanta gravitațională;
• $M$ este masa corpului central.

Notă: produsul $GM$ poate fi notat și cu litera grecească μ. Totuși, nu trebuie să se confunde această notație a $GM$ cu masa redusă μ, explicitată mai jos.

Demonstrație

Energia orbitală totală este suma energiilor potențiale comune și a energiei cinetice a celor două corpuri considerate

$E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r}}+{\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

unde:

• $v_{1}\,\!$ este viteza corpului 1 relativă la centrul de gravitație al celor două corpuri.
• $v_{2}\,\!$ este viteza corpului 2 relativă la centrul de gravitate al celor două corpuri.

Energia orbitală poate fi calculată folosind doar cantități relative

$E={\frac {-G_{1}m_{2}}{r}}+\mu {\frac {v^{2}}{2}}$

unde:

• $v\,\!$ este viteza relativă a celor două corpuri.
• $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}\!+\!m_{2}}}$ este masa redusă.

Pentru orbitele circulare și eliptice, energia totală este dată mai precis

$E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{2a}}$.

Împărțirea totalului energiei prin masa redusă dă energia vis-viva, cunoscută mai ales ca energie orbitală specifică

$\epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {G(m_{1}\!+\!m_{2})}{r}}$.

Pentru orbitele circulare și eliptice

$\epsilon ={\frac {-G(m_{1}\!+\!m_{2})}{2a}}$.

Din precedentele ecuații, se obține ecuația forței vii:

$v^{2}=G(m_{1}\!+\!m_{2})\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$.

Aplicații

Pornind de la r și v într-un punct al orbitei, este posibil să se calculezer și v în orice punct al orbitei. .

De asemenea, pornind de la r și v într-un punct al orbitei, energia orbitală specifică $\epsilon \,\!$ poate fi calculată, ceea ce permite să se determine dacă un obiect care orbitează în jurul unuia mai mare are suficientă energie pentru a rămâne pe orbită.

Bibliografie

• E. Messerschmidt, S. Fasoulas (2000). Raumfahrtsysteme. Springer. pp. 71–86. ISBN 3-540-21037-7.