Ecuația difuziei

În fizică și matematică ecuația difuziei este o ecuație cu derivate parțiale parabolică. În fizică, descrie comportamentul macroscopic al multor microparticule în mișcare browniană, rezultat din mișcările și coliziunile aleatorii ale particulelor (vezi legile lui Fick). În matematică, este legată de procesele Markov – cum ar fi mersurile aleatorii^⁠(d) – și este aplicată în multe alte domenii, cum ar fi știința materialelor, teoria informației și biofizica. Ecuația difuziei este un caz particular al ecuației de convecție–difuzie^⁠(d) atunci când vitezele macroscopice relative din volum sunt nule. În anumite circumstanțe este echivalentă cu ecuația propagării căldurii.

Istoric

Ecuația difuziei particulelor a fost obținută inițial de Adolf Fick în 1855.

Enunț

De obicei ecuația se scrie:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},$

unde ϕ(r, t) este densitatea materialului care difuzează în poziția r și momentul t, D(ϕ, r) este coeficientul de difuzie colectivă a densității ϕ în poziția r, iar ∇ este operatorul diferențial vectorial nabla. Dacă coeficientul de difuzie depinde de densitate, atunci ecuația este neliniară, altfel este liniară.

Ecuația de mai sus se aplică atunci când coeficientul de difuzie este izotrop. În cazul difuziei anizotrope, D este o matrice simetrică pozitiv definită, iar ecuația se scrie (pentru difuzie tridimensională) ca:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]$

Ecuația difuziei are numeroase soluții analitice.

Dacă D este constant, atunci ecuația se reduce la următoarea ecuație diferențială liniară^⁠(d):

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),$

care este identică cu ecuația propagării căldurii.

Obținere

Ecuația difuziei poate fi obținută trivial din ecuația de continuitate, care afirmă că o modificare a densității în orice parte a sistemului se datorează intrării și ieșirii de materie în și din acea parte a sistemului. Practic, nu se creează sau se distruge materia:

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$

unde j este fluxul de materie. Ecuația difuziei poate fi obținută cu ușurință din aceasta, atunci când este combinată fenomenologic cu prima lege a lui Fick, care afirmă că fluxul de materie care difuzează în orice parte a sistemului este proporțional cu gradientul local al densității:

$\mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).$

Discretizare

Ecuația difuziei este continuă atât în spațiu, cât și în timp. Se poate discretiza spațiul, timpul sau ambele, care apar în aplicație. Discretizarea timpului corespunde doar cazului unor momente de timp ale sistemului continuu în care nu apar fenomene noi. Prin discretizarea spațiului, funcția lui Green^⁠(d) devine nucleul gaussian^⁠(d) discret în loc de nucleul gaussian continuu. Prin discretizarea atât a timpului, cât și a spațiului, se obține mersul aleatoriu.

Discretizarea în prelucrarea imaginilor

Pentru a rescrie ecuația tensorială de difuzie anizotropă, în schemele standard de discretizare se folosește regula derivării unui produs, deoarece discretizarea directă a ecuației difuziei doar cu diferențe centrale spațiale de ordinul întâi duce la artefacte de tip tablă de șah. Ecuația difuziei rescrisă utilizată în filtrarea imaginilor:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{\text{T}}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}$

unde cu tr este notată urma tensorului de ordinul doi, iar cu „exponentul” T este notată transpusa, în care, în filtrarea imaginilor, D(ϕ, r) sunt matrici simetrice construite din vectorii proprii ai tensorilor de structură^⁠(d) ai imaginii. Derivatele spațiale pot fi apoi aproximate prin două diferențe finite^⁠(d) centrale de ordinul întâi și una de ordinul al doilea. Algoritmul de difuzie rezultat poate fi scris ca o convoluție a imaginii cu un nucleu (șablon) variabil de dimensiunea 3 × 3 în 2D și 3 × 3 × 3 în 3D.

Lectură suplimentară

• en Mehrer, H.; Stolwijk, A (2009). „Heroes and Highlights in the History of Diffusion”. Diffusion Fundamentals. 11: 1–32. doi:10.62721/diffusion-fundamentals.11.453. 
• en Carslaw, H. S. and Jaeger, J. C. (1959). Conduction of Heat in Solids Oxford: Clarendon Press
• en Jacobs, M.H. (1935). Diffusion Processes Berlin/Heidelberg: Springer
• en Crank, J. (1956). The Mathematics of Diffusion Oxford: Clarendon Press
• en Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, ISBN: 0-8053-7002-1
• en Thambynayagam, R. K. M (2011). The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. McGraw-Hill
• en Ghez, R. (1988). A Primer Of Diffusion Problems, Wiley
• en Ghez, R. (2001). Diffusion Phenomena. Long Island, NY, USA: Dover Publication Inc
• en Pekalski, A. (1994). Diffusion Processes: Experiment, Theory, Simulations, Springer
• en Bennett, T.D. (2013). Transport by Advection and Diffusion. John Wiley & Sons
• en Vogel, G. (2019). Adventure Diffusion Springer
• en Gillespie, D.T.; Seitaridou, E (2013). Simple Brownian Diffusion,Oxford University Press
• en Nakicenovic, N.; Griübler, A.: (1991). Diffusion of Technologies and Social Behavior; Springer
• en Michaud, G.; Alecian, G.; Richer, G.: (2013). Atomic Diffusion in Stars, Springer
• en Stroock, D. W.:, Varadhan, S.R.S.: (2006). Multidimensional diffusion processes, Springer
• en Zhuoqun, W., Yin J., Li H., Zhao J., Jingxue Y., and Huilai L. (2001). Nonlinear diffusion equations, World Scientific
• en Shewmon, P. (1989). Diffusion in Solids, Wiley
• en Banks, R.B. (2010). Growth and diffusion phenomena, Springer
• en Roque-Malherbe, R.M.A. (2007). Adsorption and Diffusion in Nanoporous Materials, CRC Press
• en Cunningham, R. (1980). Diffusion in gases and porous media, Plenum
• en Pasquill, F., Smith, F.B. (1983). Atmospheric diffusion, Horwood
• en Ikeda, N., Watanabe, S. (1981). Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, Elsevier, Academic Press
• en Philibert, J., Laskar, A.L., Bocquet, J.L., Brebec, G., Monty, C. (1990). Diffusion in Materials, Springer Netherlands
• en Freedman, D., (1983). Brownian Motion and Diffusion, Springer-Verlag New York
• en Nagasawa, M., (1993). Schrödinger Equations and Diffusion Theory, Birkhäuser
• en Burgers, J.M., (1974). The Nonlinear Diffusion Equation: Asymptotic Solutions and Statistical Problems, Springer Netherlands
• en Ito, S., (1992). Diffusion Equations, American Mathematical Society
• en Krylov, N. V. (1994). Introduction to the Theory of Diffusion Processes, American Mathematical Society
• en Knight, F.B., (1981). Essentials of Brownian Motion and Diffusion, American Mathematical Society
• en Ibe, O.C., (2013). Elements of random walk and diffusion processes, Wiley
• en Dattagupta, S. (2013). Diffusion: Formalism and Applications, CRC Press

Vezi și

• Ecuație de continuitate
• Ecuația propagării căldurii
• Legile lui Fick
• Difuzie Maxwell-Stefan

Legături externe

• en Diffusion Calculator for Impurities & Dopants in Silicon Arhivat în 2 mai 2009, la Wayback Machine.

• en A tutorial on the theory behind and solution of the Diffusion Equation.
• en Classical and nanoscale diffusion (with figures and animations)