Discuție:Teorema lui Bertrand

Preliminarii

Toate fortele atractive centrale pot produce orbite circulare , care sunt natural orbite inchise. Unica cerință este ca forța centrală să egaleze forță centripetă, care determină viteza unghiulară corespunzătoare unei orbite circulare date. Forțele noncentrale (i.e., cele care depend de variabile unghiulare ca și de rază) sunt ignorate aici, neproducînd in general orbite inchise.

ecuatia de mișcare pentru raza $r$ a unei particule de masă $m$ intr-un câmp central $V(r)$ e data de ecuațiile lui Lagrange.

$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$

unde $\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}$ si momentul impulsului $L=mr^{2}\omega$ se conservă. Ca ilustrare, primul termen din membrul stâng e zero dacă orbitele sunt circulare , iar forța spre interior${\frac {dV}{dr}}$ egaleaza forță centripetă $mr\omega ^{2}$, fapt previzibil.

Definirea impuls unghiular permite schimbarea variabilei independente $t$ cu $\theta$

${\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}$

rezultînd o equatie de mișcare independentă de timp

${\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$

Equatia devine cvasilineară cu schimbarea de variable $u\equiv {\frac {1}{r}}$ și inmulțirea ambilor membri cu ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$ (vezi ecuația Binet)

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)$