Derivată temporală

O derivată temporală sau derivată în timp este o derivată a unei funcții în funcție de timp, de obicei interpretată ca viteza de modificare a valorii funcției. Variabila de timp se notează de obicei cu $t\,,$ dar în literatura de specialitate în limba română, dacă este posibilă confuzia cu temperatura exprimată în grade celsius, timpul se notează cu $\tau .$

Notații

Pentru a desemna derivata temporală se folosesc diverse notații. Pe lângă notația normală (notația Leibniz^⁠(d)), ${\frac {dx}{dt}},$ o notație prescurtată foarte comună, în special în fizică, este cea „cu punct”, de exemplu ${\dot {x}},$ numită notația Newton.

Se folosesc și derivate temporale superioare: derivata a doua în funcție de timp se scrie ca: ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$ respectiv în notația cu punct: ${\ddot {x}}.$

Ca o generalizare, derivata temporală a unui vector, de exemplu:

$\mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]$

se definește drept vectorul al cărui componente sunt derivatele vectorului inițial, adică:

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right]$

Folosirea în fizică

Derivatele temporale sunt un concept cheie în fizică. De exemplu, pentru o poziție $x$ care se modifică, derivata sa temporală ${\dot {x}}$ este viteza sa, iar a doua sa derivată în funcție de timp, ${\ddot {x}},$ este accelerația sa. Uneori se folosesc și derivate superioare: derivata a treia a poziției în raport cu timpul este cunoscută sub numele de supraaccelerație.

Multe ecuații fundamentale din fizică conțin derivate temporale de ordinul întâi sau al doilea ale unor mărimi. Multe alte mărimi fundamentale din știință sunt derivatele temporale ale altora:

• forța este derivata temporală a impulsului,
• puterea este derivata temporală a energiei,
• curentul electric este derivata temporală a sarcinii electrice ș.a.m.d.

O mărime frecventă în fizică este derivata temporală a unui vector, cum ar fi viteza sau deplasarea. Atunci când se lucrează cu o astfel de derivată, atât mărimea, cât și orientarea sa pot depinde de timp.

Exemplu: mișcarea circulară

Relația între coordonatele carteziene (x,y) și cele polare (r,θ)

De exemplu, fie o particulă care se mișcă pe o traiectorie circulară. Poziția sa este dată de vectorul de deplasare $r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }},$ legat de unghiul θ și distanța radială r, așa cum sunt definite în figură:

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}$

În acest exemplu, se presupune că θ = t. Prin urmare, poziția în orice moment t este dată de:

$\mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}$

Această formă arată că mișcarea descrisă de r(t) are loc într-un cerc de rază r deoarece mărimea lui r(t) este dată de:

$|\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r$

folosind identitatea trigonometrică sin²(t) + cos²(t) = 1 și unde $\cdot$ este produsul scalar euclidian obișnuit.

Cu această formă pentru deplasare, se calculează acum viteza. Derivata în timp a vectorului deplasare este vectorul viteză. În general, derivata unui vector este un vector alcătuit din componente, fiecare dintre ele fiind derivata componentei corespunzătoare a vectorului inițial. Astfel, în acest caz, vectorul viteză este:

${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}$

Astfel, viteza particulei este diferită de zero, chiar dacă mărimea poziției (adică raza traiectoriei) este constantă. Viteza este direcționată perpendicular pe deplasare, așa cum se poate stabili folosind produsul scalar:

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0$

Accelerația este derivata temporală a vitezei:

$\mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)$

Accelerația este îndreptată spre interior, către axa de rotație. Aceasta are sens opus față de vectorul de poziție și este perpendiculară pe vectorul de viteză. Această accelerație îndreptată spre interior se numește accelerație centripetă.

În geometria diferențială

În geometria diferențială mărimile sunt adesea exprimate în funcție de baza covariantă locală a unor coordonate curbilinii, $\mathbf {e} _{i}$, unde i este numărul de dimensiuni. Componentele unui vector $\mathbf {U}$ exprimate astfel se transformă într-un tensor contravariant, așa cum se vede din expresia $\mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}$, invocând convenția de însumare Einstein^⁠(d). Dacă se dorește calcularea derivatelor temporale ale acestor componente de-a lungul unei traiectorii, astfel încât $\mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)$, se poate defini un nou operator, derivata invariantă $\delta$, care va continua să returneze tensori contravarianți:

${\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}$

unde $V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}$ (cu $x^{j}$ fiind aj-a coordonată) sunt componentele vitezei în baza covariantă locală, iar $\Gamma _{jk}^{i}$ sunt simboluri Christoffel^⁠(d) ale sistemului de coordonate. De reținut că dependența explicită de t nu apare în notație. Atunci se poate scrie:

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}$

repectiv:

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}$

În funcție de derivata covariantă^⁠(d), $\nabla _{j}$, avem:

${\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}$

Folosirea în economie

În economie multe modele teoretice ale evoluției diferitelor variabile economice sunt construite în „timp continuu”, prin urmare utilizează derivate temporale. O situație implică o variabilă de stoc și derivata sa temporală, o variabilă de flux. Exemple:

• Fluxul de investiții fixe nete este derivata temporală a stocului de capital.
• Rata de creștere a masei monetare este derivata temporală a masei monetare împărțită la masa monetară în sine.

Uneori, într-un model poate să apară derivata temporală a unei variabile de flux:

• Rata de creștere a producției este derivata temporală a fluxului de producție împărțit la producția în sine.
• Rata de creștere a forței de muncă este derivata temporală a forței de muncă împărțită la forța de muncă în sine.

Și uneori apare o derivată temporală a unei variabile care, spre deosebire de exemplele de mai sus, nu este măsurată în unități monetare:

• Poate apărea derivata în timp a unei rate a dobânzii cheie.
• Rata inflației este rata de creștere a nivelului prețurilor^⁠(d), adică derivata în timp a nivelului prețurilor împărțită la nivelul prețurilor în sine.

Vezi și

• Calcul diferențial