Derivarea unui produs

Ilustrarea geometrică a unei demonstrații a derivării unui produs

În calculul diferențial derivarea unui produs este formula folosită pentru a găsi derivatele produselor a două sau mai multe funcții. Pentru două funcții, poate fi folosită notația lui Lagrange:

$(u\cdot v)^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$

sau notația lui Leibniz:

${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$

Regula poate fi generalizată la produse de trei sau mai multe funcții, la o regulă pentru derivate de ordin superior a unui produs și la alte contexte.

Descoperire

Descoperirea acestei reguli este atribuită lui Gottfried Leibniz, care a demonstrat-o folosind „infinitezimalele” (un precursor al calculului diferențial modern. Iată argumentația lui Leibniz: fie funcțiile u și v. Atunci d(uv) este același lucru cu diferența dintre două uv succesive; fie una dintre ele uv, iar cealaltă u+du înmulțit cu v+dv; atunci:

${\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}$

Deoarece termenul $du\cdot dv$ este „neglijabil” (în comparație cu du și dv), Leibniz a tras concluzia că

$d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv$

iat asta este într-adevăr forma diferențială a regulii de derivare a produsului. Dacă se împarte cu dx, se obține

${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$

care poate fi scrisă în notația lui Lagrange ca

$(u\cdot v)^{\prime }=v\cdot u^{\prime }+u\cdot v^{\prime }.$

Exemple

• Fie cazul în care se dorește derivarea $f(x)=x^{2}\sin(x).$ Cu regula derivării produsului se obține derivata $f^{\prime }(x)=2x\cdot \sin(x)+x^{2}\cos(x)$ (deoarece derivata lui $x^{2}$ este $2x,$ iar derivata funcției sinus este funcția cosinus).
• Un caz particular al regulii de derivare a produsului este regula de derivare a înmulțirii cu o constantă, care afirmă că dacă c este un număr și $f(x)$ este o funcție derivabilă, atunci $c\cdot f(x)$ este, de asemenea, derivabilă, iar derivata sa este $(cf)^{\prime }(x)=c\cdot f^{\prime }(x).$ Aceasta rezultă din regula derivării produsului, deoarece derivata oricărei constante este zero.
• Regula pentru integrarea prin părți este obținută din regula de derivare a produsului, fiind o versiune slabă. (Este o versiune „slabă” deoarece nu demonstrează că coeficientul este derivabil, ci spune doar care este derivata sa dacă este derivabil.)

Demonstrații

Prin limită ca definiție a derivatei

Fie h(x) = f(x)g(x) și se admite că f și g sunt derivabile în x. Se demonstrează că h este derivabilă în x și că derivata sa, h'(x), este f' (x) g(x) + f(x) g' (x). Pentru asta, se adună $f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)$ (care este zero, deci nu schimbă valoarea) la numărător pentru a permite factorizarea, iar apoi se folosesc proprietățile limitelor:

${\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).\end{aligned}}$

Proprietatea $\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)$ rezultă din faptul că funcțiile derivabile sunt continue.

Prin aproximări liniare

Prin definiție, dacă $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sunt derivabile în $x,$ atunci se pot scrie aproximările liniare:

$f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+\varepsilon _{1}(h)\quad$ și $\quad g(x+h)=g(x)+g^{\prime }(x)h+\varepsilon _{2}(h)$

unde termenii de eroare sunt mici față de h: adică, ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}$ care poate fi scrisă și $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)$. Atunci:

${\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f^{\prime }(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g^{\prime }(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f^{\prime }(x)g(x)h+f(x)g^{\prime }(x)h-f(x)g(x)+{\text{termenii de eroare}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g^{\prime }(x)h+o(h).\end{aligned}}$

„Termenii de eroare” sunt $f(x)\varepsilon _{2}(h),f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)h^{2}$ și $hf^{\prime }(x)\varepsilon _{1}(h)$ la care se observă ușor că au magnitudinea $o(h).$ Împărțind cu $h,$ limita când $h\to 0$ dă rezultatul.

Prin sferturile pătratelor

Această demonstrație folosește regula derivării funcțiilor compuse și funcția sfertul pătratului $q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}$ a cărei derivată esre $q^{\prime }(x)={\tfrac {1}{2}}x$. Se obține:

$uv=q(u+v)-q(u-v),$

și derivînd ambii membri se obține:

${\begin{aligned}f^{\prime }&=q^{\prime }(u+v)(u^{\prime }+v^{\prime })-q^{\prime }(u-v)(u^{\prime }-v^{\prime })\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u^{\prime }+v^{\prime })\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u^{\prime }-v^{\prime })\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu^{\prime }+vu^{\prime }+uv^{\prime }+vv^{\prime })-{\tfrac {1}{2}}(uu^{\prime }-vu^{\prime }-uv^{\prime }+vv^{\prime })\\[4pt]&=vu^{\prime }+uv^{\prime }.\end{aligned}}$

Prin derivarea funcțiilor multivariablă

Regula derivării produsului poate fi considerată un caz particular al derivării funcțiilor compuse de mai multe variabile, aplicată funcției de înmulțire $m(u,v)=uv$:

${\frac {d(uv)}{dx}}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.$

Prin analiza nestandard

Fie u și v funcții continue în x, iar dx, du și dv infinitezimale în analiza nestandard^⁠(d), în special pentru numerele hiperreale. Folosind simbolul st pentru a desemna funcția partea standard^⁠(d) care asociază unui număr hiperreal finit realul infinit aproape de acesta, aceasta dă

${\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}$

Aceasta a fost în esență demonstrația lui Leibniz care exploatează transcendența omogenității (în locul părții standard de mai sus).

Prin analiza infinitezimală netedă

În contextul abordării lui Lawvere a infinitezimalelor, fie $dx$ un nilpătrat infinitezimal. Atunci $du=u^{\prime }\,dx$ și $dv=v^{\prime }\,dx,$ astfel încât

${\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}$

deoarece $du\,dv=u^{\prime }v^{\prime }(dx)^{2}=0.$ Împărțind cu $dx$ se obține ${\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}$ sau $(uv)^{\prime }=u\cdot v^{\prime }+v\cdot u^{\prime }$.

Prin derivata logaritmică

Fie $h(x)=f(x)g(x)$. Luând valoarea absolută a fiecărei funcții și logaritmul natural al ambelor părți ale ecuației,

$\ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|$

și aplicând proprietățile valorii absolute și ale logaritmilor, se obține $\ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|$

Luând derivata logaritmică^⁠(d) a ambelor părți $h^{\prime }(x)$:

${\frac {h^{\prime }(x)}{h(x)}}={\frac {f^{\prime }(x)}{f(x)}}+{\frac {g^{\prime }(x)}{g(x)}}$

și apoi rezolvând pentru $h^{\prime }(x)$ și substituind înapoi $f(x)g(x)$ în $h(x)$ se obține:

${\begin{aligned}h^{\prime }(x)&=h(x)\left({\frac {f^{\prime }(x)}{f(x)}}+{\frac {g^{\prime }(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f^{\prime }(x)}{f(x)}}+{\frac {g^{\prime }(x)}{g(x)}}\right)\\&=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).\end{aligned}}$

Notă: Luarea valorii absolute a funcțiilor este necesară pentru derivarea logaritmului^⁠(d) funcțiilor care pot avea valori negative, deoarece logaritmii sunt funcții reale doar pentru argumente pozitive. Acest lucru funcționează pentru că ${\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u^{\prime }}{u}}$, ceea ce justifică luarea valorii absolute a funcției la derivarea logaritmului.

Generalizări

Produs de mai mult de doi factori

Regula derivării produsului poate fi generalizată la produse cu mai mult de doi factori. De exemplu, pentru trei factori:

${\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.$

Pentru o mulțime de funcții $f_{1},\dots ,f_{k}$, se obține

$${\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)$$

Derivata logaritmică oferă o expresie mai simplă a ultimei forme, precum și o demonstrație directă care nu implică vreo recursivitate. Derivata logaritmica a unei funcții f, notată aici $\operatorname {Logder} (f),$ este derivata logaritmului funcției. Rezultă că

$\operatorname {Logder} (f)={\frac {f^{\prime }}{f}}$

Știind că logaritmul produsului este suma logaritmilor factorilor, regula de derivare se obține imediat:

$\operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i})$

Ultima expresie de mai sus a derivatei unui produs se obține prin înmulțirea ambilor membri ai acestei ecuații cu produsul lui $f_{i}.$

Derivate superioare

Derivarea poate fi generalizată. Pentru a n-a derivată a unui produs a doi factori, conform binomului lui Newton:

$d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v)$

Pentru un punct x anume, formula de mai sus dă:

$(uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x)$

Mai mult, pentru derivata n-a a unui număr arbitrar de factori, există o formulă similară:

$\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}$

Derivate parțiale superioare

Pentru derivate parțiale, formula este:

${\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}$

unde indicele S se referă la toate cele 2ⁿ submulțimi {1, ..., n}, iar $|S|$ este cardinalitatea^⁠(d) lui S. De exemplu, când n = 3,

${\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v\\[-3ex]&\end{aligned}}$

Spații Banach

Fie X, Y, și Z spații Banach (care includ spațiul euclidian) și B : X × Y → Z un operator biliniar continuu. Atunci B este derivabil, iar derivata sa în punctul (x,y) din X × Y este aplicația liniară D_(x,y)B : X × Y → Z dată de

$(D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y$

Rezultatul poate fi generalizat și la spațiile vectoriale topologice, mai generale.

În calculul vectorial

Regula derivării produsului se extinde la diferite operații de produs ale funcțiilor vectoriale pe $\mathbb {R} ^{n}$:

• La înmulțirea cu un scalar: $(f\cdot \mathbf {g} )^{\prime }=f^{\prime }\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} ^{\prime }$
• La produsul scalar: $(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )^{\prime }=\mathbf {f} ^{\prime }\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} ^{\prime }$
• La produsul vectorial al funcțiilor vectoriale pe $\mathbb {R} ^{3}$: $(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )^{\prime }=\mathbf {f} ^{\prime }\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} ^{\prime }$

Există, de asemenea, analogi pentru alți analogi ai derivatei: dacă f și g sunt câmpuri scalare, atunci există o regulă pentru gradient:

$\nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g$

O astfel de regulă va fi valabilă pentru orice operațiune continuă a produsului biliniar. Fie B : X × Y → Z o aplicație biliniară continuă între spații vectoriale și fie f și g funcții derivabile în X, respectiv Y. Singurele proprietăți ale înmulțirii utilizate în demonstrație folosind limita ca definiție a derivatei sunt acelea că înmulțirea este continuă și biliniară. Deci, pentru orice operație biliniară continuă,

$H(f,g)^{\prime }=H(f^{\prime },g)+H(f,g^{\prime })$

Acesta este un caz particular al regulii derivării produsului în aplicații biliniare în spații Banach.

Derivări în algebra abstractă și în geometria diferențială

În algebra abstractă, regula derivării produsului este proprietatea definitorie a unei derivări. În această terminologie, regula derivării produsului prevede că operatorul de derivare este o derivare pe funcții.

În geometria diferențială, un vector tangent^⁠(d) la o varietate M într-un punct p poate fi definit abstract ca un operator pe funcții reale care se comportă ca o derivată direcțională în p: adică o funcțională liniară^⁠(d) v care este o derivată, $v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g)$

Aplicații

Printre aplicațiile regulii produsului se află o demonstrație că

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

unde n este un întreg pozitiv (relația este adevărată chiar dacă n nu este pozitiv sau întreg, dar demonstrarea acesteia trebuie să se bazeze pe alte metode). Demonstrația se face prin inducție matematică pentru exponentul n. Dacă n = 0 atunci xⁿ este constant și nx^{n − 1} = 0. Regula este valabilă în acest caz, deoarece derivata unei funcții constante este 0. Dacă regula este valabilă pentru un anumit exponent n, atunci pentru următoarea valoare, n + 1, avem

${\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(se foloseste regula derivarii produsului)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(se foloseste ipoteza inductiei)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}$

Prin urmare, dacă propoziția este adevărată pentru n, este adevărată și pentru n + 1, deci pentru toate n naturale.

Vezi și

• Derivarea funcțiilor compuse
• Identitățile calculului vectorial
• Integrare prin părți
• Separarea variabilelor