Derivarea inversei unei funcții

Curba groasă albastră și curba groasă ro șie sunt inverse una față de cealaltă. O curbă subțire este derivata aceleiași curbe groase de aceeași culoare. Regula derivării inversei funcției:
${\color {DodgerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Red}{(f^{-1})'}}(f(x))}}$

Exemplu pentru $x_{0}\approx 5,8$:
${\color {DodgerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}$
${\color {Red}{(f^{-1})'}}(f(x_{0}))=4$

În calculul diferențial derivarea inversei unei funcții se referă la formula folosită pentru a găsi derivata inversei unei funcții bijective și derivabile  f  în funcție de derivata lui  f. Mai exact, dacă inversa lui  $f$ este notată prin $f^{-1},$ unde $f^{-1}(y)=x$ dacă și numai dacă $f(x)=y$, atunci regula derivării inversei unei funcții este în notația lui Lagrange

$\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}$

Această formulă este valabilă în general ori de câte ori $f$ este continuă și injectivă pe un interval  I, cu $f$ derivabilă în $f^{-1}(a)$($\in I$) unde $f'(f^{-1}(a))\neq 0$. Aceeași formulă este, de asemenea, echivalentă cu expresia

${\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},$

unde cu ${\mathcal {D}}$ este notat operatorul de derivare unar (pe spațiul funcțiilor) și cu $\circ$ este notată compunerea funcțiilor^⁠(d).

Din punct de vedere geometric, o funcție și o funcție inversă au grafice care sunt reflexii față de dreapta $y=x.$ Această operație de reflectare transformă panta oricărei linii în inversa sa.

Presupunând că $f$ are o inversă în vecinătatea lui $x$ și că derivata sa în acel punct este diferită de zero, inversa sa este garantat a fi derivabilă în $x$ și are o derivată dată de formula de mai sus.

Regula derivării funcției inverse poate fi exprimată și în notația lui Leibniz. După cum sugerează această notație,

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1$

Această relație se obține prin diferențierea ecuației $f^{-1}(y)=x$ în fincție de x și, aplicând regula derivării funcțiilor compuse, rezultând că:

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}$

știind că derivata lui x în funcție de x este 1.

Derivare

Fie $f$ o funcție inversabilă (bijectivă) și $x$ în domeniul lui $f$, și fie $y$ în codomeniul lui $f.$ Deoarece $f$ este bijectivă, $y$ este în intervalul lui $f.$ De asemenea, aceasta înseamnă că $y$ este în domeniul lui $f^{-1}$ și că $x$ este în codomeniul lui $f^{-1}.$ Deoarece $f$ este o funcție inversabilă, se știe că $f(f^{-1}(y))=y.$ Regula derivării funcției inverse poate fi obținută calculând derivata acestei ecuații.

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}f(f^{-1}(y))={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}y$

Membrul drept este egal cu 1, iar regula derivării funcțiilor compuse poate fi aplicată membrului stâng:

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f(f^{-1}(y))\right)}{\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}{\mathrm {d} y}}&=1\\{\dfrac {\mathrm {d} f(f^{-1}(y))}{\mathrm {d} f^{-1}(y)}}{\dfrac {\mathrm {d} f^{-1}(y)}{\mathrm {d} y}}&=1\\f^{\prime }(f^{-1}(y))(f^{-1})^{\prime }(y)&=1\end{aligned}}$

Rearanjând, se obține:

$(f^{-1})^{\prime }(y)={\frac {1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}}$

În loc să se folosească $y$ ca variabilă, se poate rescrie această ecuație folosind $a$ ca intrare pentru $f^{-1}$ și se obține:

$(f^{-1})^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }\left(f^{-1}(a)\right)}}$

Exemple

• $y=x^{2}$ (pentru x pozitiv) are inversa $x={\sqrt {y}}$.

${\frac {dy}{dx}}=2x\quad ;\quad {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1$

În $x=0$, totuși există o problemă: graficul funcției rădăcinii pătrate devine vertical, corespunzând unei tangente orizontale pentru funcția de gradul al doilea.

• $y=e^{x}$ (pentru x real) are inversa $x=\ln {y}$ (pentru $y$ pozitiv)

${\frac {dy}{dx}}=e^{x}\quad ;\quad {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}=e^{-x}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot e^{-x}=1.$

Proprietăți suplimentare

• Integrarea acestei relații dă

${f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+C$

Acest lucru este util numai dacă integrala există. În special, avem nevoie ca $f'(x)$ să fie diferit de zero în intervalul de integrare.

Rezultă că o funcție care are o derivată continuă are o inversă într-o vecinătate a fiecărui punct în care derivata este diferită de zero. Acest lucru se poate să nu fie adevărat dacă derivata nu este continuă.

• O altă proprietate, foarte interesantă și utilă, este următoarea:

$\int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C$

unde cu $F$ este notată integrala nedefinită a lui $f.$

• Inversa derivatei lui f(x) prezintă și ea interes, deoarece este folosită pentru a arăta convexitatea transformării Legendre.

Fie $z=f'(x),$ presupunând că $f''(x)\neq 0$:

${\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f''(x)}}$

Asta poate fi prezentată cu notația precedentă $y=f(x).$ Atunci:

$f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {dy}{dz}}f''(x)\Rightarrow {\frac {dy}{dz}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}$

Prin urmare:

${\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {dx}{dz}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dx}{dy}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}{\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{f''(x)}}$

Se poate generaliza acest rezultat prin inducție pentru orice număr întreg $n\geq 1,$ cu $z=f^{(n)}(x)$ a n-a derivată a lui $f(x),$ iar cu $y=f^{(n-1)}(x),$ presupunând că $f^{(i)}(x)\neq 0$ pentru $0<i\leq n+1$:

${\frac {d(f^{(n)})^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f^{(n+1)}(x)}}$

Derivate superioare

Regula derivării funcțiilor compuse de mai sus se obține prin derivarea identității $f^{-1}(f(x))=x$ în funcție de x. Se poate continua același proces pentru derivatele superioare. Derivând identitatea de două ori în funcție de x se obține

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0$

care în continuare se simplifică la

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0$

Înlocuind derivata întâi, folosind identitatea obținută mai devreme, se obține

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}$

Similar, pentru derivata de ordinul al treilea:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$

sau, folosind formula pentru derivata de ordinul al doilea,

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}$

Aceste formule sunt generalizate la formula lui Faà di Bruno.

Aceste formule pot fi scrise și folosind notația lui Lagrange. Dacă f și g sunt inverse, atunci

$g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}$

Exemplu

• $y=e^{x}$ are inversa $x=\ln y$. Folosind formula pentru derivata de ordinul al doilea a funcției inverse,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y\quad ;\quad \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3}$

prin urmare,

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0\quad ;\quad {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}$

care corespunde cu calculul direct.

Bibliografie

• en Marsden, Jerrold E.; Weinstein, Alan (1981). „Chapter 8: Inverse Functions and the Chain Rule”. Calculus unlimited (PDF). Menlo Park, Calif.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-6932-5. 

Vezi și

• Funcție inversă
• Derivarea funcțiilor compuse
• Derivarea unui produs
• Identitățile calculului vectorial