Deplasare unghiulară

Deplasare unghiulară
Unghiul de rotație de la semidreapta neagră la segmentul verde este de 60°, de la semidreapta neagră la segmentul albastru este de 210°, iar de la verde la albastru este de 210° − 60° = 150°. O rotație completă în jurul punctului central este egală cu 360° sau $2\pi$ radiani
Simbol	θ, ϑ, φ
Unitate SI	radian, grad
Dimensiune SI	1

Deplasarea unghiulară^[1] (simbol θ, ϑ sau φ), numită și unghi de rotație^[1], a unui corp fizic este unghiul (în unitățile radiani sau grade) cu care corpul se rotește în jurul unui centru sau a unei axe de rotație. Deplasarea unghiulară poate fi cu semn, indicând sensul rotației (de exemplu în sensul acelor de ceasornic), și poate fi mai mare decât o rotație completă.

Context

Când un corp se rotește în jurul axei sale, mișcarea nu poate fi analizată simplu ca mișcare a unei particule, deoarece în mișcarea de rotație el are în orice moment o viteză unghiulară, respectiv o accelerație unghiulară care se schimbă. Când se analizează rotația unui corp, devine mai simplu să se considere corpul ca fiind rigid. Un corp este considerat, în general, rigid atunci când distanțele dintre toate particulele sale rămân constante în timpul mișcării, astfel încât, de exemplu, nu se desprind părți din masa sa. În mod realist, toate corpurile pot fi deformabile, însă acest efect este mic și în multe situații neglijabil.

Exemplu

Rotația unui corp rigid P în jurul unei axe fixe O

În exemplul din imagine, o particulă sau un corp $P$ se află la o distanță fixă $r$ față de originea $O$ , rotindu-se în sens trigonometric. Devine importantă reprezentarea poziției particulei $P$ prin coordonatele sale polare $(r, θ).$ În acest exemplu, valoarea lui $θ$ se modifică, în timp ce raza rămâne aceeași. (În coordonate carteziene $(x, y),$ atât $x$ cât și $y$ variază în timp.) Pe măsură ce particula se deplasează pe cerc, ea parcurge un arc de cerc a cărei lungime este legată de poziția unghiulară prin relația:

s=r\theta

Definiție și unități

Deplasarea unghiulară poate fi exprimată în radiani sau în grade. Folosirea radianului oferă o relație foarte simplă între distanța parcursă pe cerc (arcul de cerc / lungimea arcului) și distanța $r$ față de centru (raza):

\theta ={\frac {s}{r}}\quad \mathrm {[rad]}

De exemplu, dacă un corp se rotește 360° pe un cerc de rază $r$ , deplasarea unghiulară este dată de raportul dintre distanța parcursă pe circumferință – care este $2\pi r$ – și rază: $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ , ceea ce se simplifică la: $\theta =2\pi$ . Prin urmare, o rotație corespunde la $2\pi$ radiani.

Definiția de mai sus face parte din Sistemul Internațional de Mărimi^⁠(d) (ISQ), formalizat în standardul internațional ISO 80000-3 (Spațiu și timp),^[2] și adoptat în SI.^[3]^[4]

Deplasarea unghiulară poate fi cu semn, indicând sensul rotației (de exemplu în sensul acelor de ceasornic).^[2] De asemenea, poate fi mai mare de o rotație completă, de 360°. În ISQ/SI, deplasarea unghiulară este folosită pentru a defini numărul de rotații, $N=\theta /(2\pi ),$ care este un raport adimensional.

În tridimensional

În tridimensional, deplasarea unghiulară este o mărime cu valoare și direcție. Direcția specifică axa de rotație, care există întotdeauna conform teoremei de rotație a lui Euler^⁠(d). Valoarea specifică rotația în radiani în jurul acelei axe (folosind regula mâinii drepte pentru a determina sensul).

Deși are direcție și valoare, deplasarea unghiulară nu este un vector deoarece nu respectă comutativitatea adunării.^[5] Totuși, când se lucrează cu rotații infinitezimale, infinitezimalele de ordinul al doilea pot fi neglijate, caz în care comutativitatea apare.

Matrici de rotație

Există mai multe modalități de a descrie rotațiile, cum ar fi matricile de rotație^⁠(d) sau unghiurile lui Euler.

Având în vedere că orice reper din spațiu poate fi descris printr-o matrice de rotație, deplasarea dintre ele poate fi și ea descrisă printr-o matrice de rotație. Fie $A_{0}$ și $A_{f}$ două matrici, matricea deplasării unghiulare dintre ele poate fi obținută ca $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}.$ . Când diferența dintre cele două repere este foarte mică produsul va fi apropiat de matricea unitate.

Note

^ ^a ^b Dumitru, Ștefan (2024). Analiza mecanică a unui sistem robotic mână-braț (PDF) (rezumat teză de doctorat). Universitatea Politehnica din București. Accesat în 7 ianuarie 2025.
^ ^a ^b en „ISO 80000-3:2019 Quantities and units — Part 3: Space and time” (ed. 2). ISO. 2019. Accesat în 23 octombrie 2019. [1] (11 pages)
^ en BIPM (2025). „The International System of Units” (PDF). SI Brochure 9. BIPM. p. 127. Accesat în 3 ianuarie 2026.
^ en Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (4 martie 2020). „The NIST Guide for the Use of the International System of Units, Special Publication 811” (ed. 2008). National Institute of Standards and Technology. Accesat în 17 iulie 2023. [2]
^ en Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288–89. ISBN 9780070350489.

Lectură suplimentară

Wedderburn, Joseph H. M. (1934), Lectures on Matrices, AMS, ISBN 978-0-8218-3204-2

Vezi și

Portal Fizică

[ȘD-1] Dumitru, Ștefan (2024). Analiza mecanică a unui sistem robotic mână-braț (PDF) (rezumat teză de doctorat). Universitatea Politehnica din București. Accesat în 7 ianuarie 2025.

[ISO80000-3_2019-2] „ISO 80000-3:2019 Quantities and units — Part 3: Space and time” (ed. 2). ISO. 2019. Accesat în 23 octombrie 2019. [1] (11 pages)

[SIBrochure_9-3] BIPM (2025). „The International System of Units” (PDF). SI Brochure 9. BIPM. p. 127. Accesat în 3 ianuarie 2026.

[NISTGuide_2009-4] Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (4 martie 2020). „The NIST Guide for the Use of the International System of Units, Special Publication 811” (ed. 2008). National Institute of Standards and Technology. Accesat în 17 iulie 2023. [2]

[5] Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288–89. ISBN 9780070350489.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]