Cuadrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Un exemplu de cuadrică, un paraboloid hiperbolic

În matematică, cuadricele sunt suprafețe algebrice de gradul al doilea, adică suprafețe ale spațiului afin euclidian tridimensional, a căror ecuație se obține prin anularea unui polinom de gradul al doilea în trei variabile.[1]

Prin generalizare, se poate vorbi de suprafețe n-dimensionale în spațiul cu n + 1 dimensiuni generate de locul geometric al soluțiilor unui polinom de gradul doi. În coordonate {x1, x2, ..., xn+1}, cuadrica generată este definită de o ecuație algebrică de forma:[2]

care poate fi scrisă compact în notație matricială:

unde x = {x1, x2, ..., xn+1} este o matrice vector linie, xT este transpusa lui x (un vector coloană), Q este o matrice (n + 1)×(n + 1), P este un vector linie (n + 1)-dimensional, iar R este o constantă scalară. Valorile din Q, P și R sunt de obicei numere reale sau complexe, dar de fapt o cuadrică poate fi definită pe orice inel. În general, locurile geometrice ale soluțiilor polinoamelor sunt varietăți algebrice și fac obiectul geometriei algebrice.

Planul și spațiul euclidian[modificare | modificare sursă]

În planul euclidian cuadricele au o singură dimensiune (n = 1), adică sunt linii, curbe. Aceste cuadrice sunt identice cu secțiunile conice și sunt cunoscute sub numele de conice.

Elipsă (e=1/2), parabolă (e=1) și hiperbolă (e=2) cu același focar F și directoare.

În spațiul euclidian cuadricele au două dimensiuni (n = 2), și formează suprafețe cuadice. Printr-o schimbare de variabilă potrivită (transformare izometrică) și alegerea direcțiilor axelor orice cuadrică din spațiul euclidian poate fi adusă la forma canonică.[3] În spațiul euclidian tridimensional există 16 asemenea forme. Dintre acestea, 11 sunt degenerate. Formele degenerate conțin planuri, linii, puncte sau chiar nimic din acestea.[4]

Cuadrice nedegenerate
Elipsoid[5]
    Sferoid (caz particular al elipsoidului)
        Sferă (caz particular al sferoidului)
Paraboloid eliptic[6]
    Paraboloid de rotație (caz particular al paraboloidului eliptic)
Paraboloid hiperbolic[7]
Hiperboloid cu o pânză[5]
Hiperboloid cu două pânze[6]
Cuadrice degenerate
Con[7]
    Con de rotație (caz particular al conului)
Cilindru eliptic[8]
    Cilindru de rotație (caz particular al cilindrului eliptic)
Cilindru hiperbolic[8]
Cilindru parabolic[9]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Brăescu, p. 50
  2. ^ en Quadrics Arhivat în , la Wayback Machine. în Geometry Formulas and Facts de Silvio Levy, extras din cea de a 30-a ediție a CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (CRC Press).
  3. ^ Emil Stoica, Cap 9 (Cuadrice)[nefuncțională], p. 187, Universitatea Transilvania din Brașov, accesat 2011-02-04
  4. ^ en Stewart Venit and Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
  5. ^ a b Brăescu, p. 51
  6. ^ a b Brăescu, p. 52
  7. ^ a b Brăescu, p. 53
  8. ^ a b Brăescu, p. 54
  9. ^ Brăescu, p. 55

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]