Centru (teoria grupurilor)

Centrul unui grup $G$ este mulțimea elementelor care comută cu toate elementele lui $G$:

$Z(G)=\{g\in G\,|\,\forall h\in G,\,gh=hg\}.$

Notația uzuală este $Z(G)$, Z-ul provenind de la cuvântul german Zentrum (centru).

Proprietăți

Centrul unui grup este mereu nevid căci elementul neutru comută cu toate elementele grupului conform definiției sale.

$Z(G)$ este un subgrup normal al lui $G$.

$G$ este grup abelian dacă și numai dacă $G=Z(G)$.

Câtul $G/Z(G)$ este izomorf cu ${\text{Inn}}(G)$, grupul automorfismelor interioare ale lui $G$, i.e. automorfismele $f:G\rightarrow G$ de tipul $f(g)=hgh^{-1}$, unde $h\in G$.

Exemple

Centrul oricărui grup abelian $G$ este tot grupul $G$.

Centrul grupului simetric $S_{n}$ este trivial pentru $n\geq 3$.

Centrul grupului altern $A_{n}$ este trivial pentru $n\geq 4$.

Centrul grupului cuaternionilor $Q$ este subgrupul $\{1,-1\}$.

Centrul grupului diedral $D_{n}$, $n\geq 3$, este trivial dacă $n$ este impar și este subgrupul $\{e,r^{k}\}$ dacă $n=2k$.