0,(9)=1

În matematică, 0,(9) (notat și 0,999...; ambele notații desemnează un zero, urmat de un număr infinit de zecimale cu valoarea 9) este o fracție periodică, egală cu 1. Cu alte cuvinte, următoarele trei simboluri:

• 0,(9)
• 0,999...
• 1

reprezintă același număr (real, rațional, întreg și natural).

ipoteză	10 × 0,999… = 9,999…
ipoteză	c = 0,999…
pasul 1	10c = 9,999…
pasul 2	10c - c = 9,999… − 0,999…
pasul 3	9c = 9
concluzie	c = 1

Demonstrația faptului că 0,(9) este de fapt 1 se poate realiza în mai multe modalități. Una din acestea se bazează pe noțiunea de limită a unui șir:

$0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.\,$

Vezi și

• Paradoxul lui Zenon
• Împărțire la zero
• Reprezentare zecimală
• Infinit

Legături externe

Materiale media legate de 0,(9) la Wikimedia Commons

• en .999999... = 1? from cut-the-knot.org
• en Why does 0.9999… = 1 ?
• en Ask A Scientist: Repeating Decimals
• en Repeating Nines
• en Point nine recurring equals one
• en David Tall's research on mathematics cognition
• en 0.999... and Infinity