Vector Laplace-Runge-Lenz (LRL): Diferență între versiuni

← Diferența anterioară Diferența următoare →

Conținut șters Conținut adăugat

Aliniat

Versiunea de la 4 octombrie 2018 16:12

Vectorul Laplace-Runge-Lenz (LRL), în mecanica clasică este un vector utilizat în general pentru a descrie forma și orientarea orbitei unui corp astronomic în jurul altuia, cum ar fi, de exemplu, o planetă care se rotește în jurul unei stele. Pentru două corpuri care interacționează gravitaținal după legea lui Newton, vectorul LRL este o integrală primă a mișcării, ceea ce înseamnă că valoarea lui este aceeași în orice punct de pe orbită; echivalent, se spune că vectorul LRL se conservă^[1]. Generalizat, vectorul LRL se conservă în toate problemele în care două corpuri interacționează între ele printr-o forță centrală, adică una care variază invers proporțional cu pătratul distanței dintre ele; astfel de probleme se numesc probleme Kepler.^[2]

Din punct de vederea mecanic, atomul de hidrogen este și el o problemă Kepler, deoarece reprezintă un sistem dinamic compus din două particule încărcate cu sarcină electrică care interacționează prin legea lui Coulomb din electrostatică, care esteo altă forță centrală cu variație invers proporțională cu pătratul distanței. Folosirea vectorului LRL a fost esențială la prima deducere a spectrului atomului de hidrogen în cadrul mecanicii cuantice, înainte de dezvoltarea teoriei cunantice al lui Schrödinger.^[3] cu toate acestea, această abordare este rar utilizată astăzi.

În mecanica clasică și cuantică, mărimile fizice care se conservă corespund în general unei simetrii la translații sau rotații a sistemului. Conservarea vectorului LRL corespunde unei simetrii neobișnuite; problema Kepler este echivalentă din punct de vedere matematic cu o particulă care se mișcă liber pe suprafața unei hipersfere cu patru dimensiuni^[4], astfel încât întreaga problemă este simetrică la anumite rotații ale spațiului tridimensional.^[5] Această simetrie sporită rezultă din două proprietăți ale problemei Kepler: vectorul vitezei, pentru o energie anumită energie totală dată a sistemului se mișcă întotdeauna într-un cerc perfect și toate aceste cercuri se intersectează în aceleași două puncte.^[6]

Vectorul Laplace-Runge-Lenz a fost denumit după Pierre-Simon de Laplace, Carl Runge și Wilhelm Lenz. De asemenea, mai este cunoscut sub una din denumirile: vectorul Laplace, vectorul Runge-Lenz sau vectorul Lenz. În mod ironic, nici unul dintre acești oameni de știință nu a definit-o. Vectorul LRL a fost redefinit de mai multe ori^[7] și este echivalent cu vectorul de excentricitate fără dimensiuni din cadrul mecanicii cerești.^[8] Au fost definite diferite generalizări ale vectorului LRL, care țin cont de efectele relativității speciale, câmpurilor electromagnetice și chiar diferitelor alte tipuri de forțe centrale.

Istoric

Vectorul LRL A este o constantă (integrală primă) a mișcării a problemei lui Kepler și este utilă în descrierea orbitelor mișcării planetelor. Cu toate acestea, nu a fost niciodată bine răpandit printre fizicieni probabil pentru că este o mărime fizică mai puțin intuitivă decât impulsul și momentul cinetic. În consecință, ea a fost redescoperită independent de mai multe ori în ultimele trei secole.^[7]

Jakob Hermann a fost primul care a arătat că A este o mărime conservativă pentru un caz special al mișcării unui corp ceresc sub acțiunea unei forțe centrale invers proporțională cu pătratul distanței dintre corp și centrul forței(ales ca originea sistemului de referință)^[9] și a realizat legătura sa cu excentricitatea orbitei eliptice. Descoperirea lui Hermann a fost generalizată în forma sa modernă de către Johann Bernoulli în anul 1710. ^[10]. La sfârșitul secolului al XVVV-lea, Pierre-Simon de Laplace a redescoperit conservarea lui A^[11], mai degrabă pe cale analitică, decât geometrică. ^[12] La mijlocul secolului al XIX-lea, William Rowan Hamilton a dedus expresia vectorului echivalent de excentricitate (definit mai jos) ^[8], folosindu-l pentru a arăta că pe parcursul mișcării sub acțiunea unei forțe centrale invers proporționale cu pătratul distanței, vectorul său de impuls p se mișcă pe un cerc (Figura 3)^[6]

La începutul secolului al XX-lea, Josiah Willard Gibbs a dedus același vector prin analiză vectorială ^[13]. Deducția lui Gibbs a fost folosită ca un exemplu de Carle Runge într-un manual popular despre vectori, apărută în limba germană ^[14] , exemplu la care a făcut apel Wilhelm Lenz în lucrarea sa despre studiul cuantic al atomului de hidrogen^[15] În 1926, vectorul LRL a fost folosit de Wolfgang Pauli pentru a deduce spectrul energetic al hidrogenului utilizând mecanica cuantică modernă, fără ecuația Schrödinger ^[3], după publicarea lucrării lui Pauli, a devenit cunoscută mai ales ca vectorul Runge-Lenz. În prezent vectorul LRL,A, este cunoscut sub denumirea de vectorul Laplace-Runge-Lenz, cu referire la numele savanților care l-au foslosit cu succes în studiile lor și nu la cel care l-a descoperit primul.^[7]

Inroducere

O particulă (punct material) care se mișcă sub acțiunea oricărei forțe centrale conservative are cel puțin patru constante de mișcare (integrale prime ale mișcarii): energia totală E și cele trei componente carteziene ale vectorului momentului cinetic L în raport cu originea sistemului de referință. Orbita particulei este conținută ntr-un plan definit de impulsul inițial al particulei p (sau, în mod echivalent, de viteza sa v) și vectorul r dintre centrul forței (ales ca originea sistemului de referință) și particulă (vezi Figura 1, mai jos).

După cum este definit mai jos (a se vedea Definiția matematică), vectorul Laplace-Runge-Lenz (vector LRL) A se află întotdeauna în planul de mișcare pentru orice forță centrală. Cu toate acestea, A este constant doar pentru o forță centrală cu variație invers proporțională cu pătratul distanței. Pentru majoritatea forțelor centrale, vectorul A nu este constant, se schimbă atât în mărime cât și în direcție; dacă forța centrală are aproximativ o lege invers pătrată, vectorul A este aproximativ constant în valoare, dar roteste încet. Pentru toate forțele centrale poate fi definit un vector LRL conservativ generalizat ${\mathcal {A}}$ , dar acest vector generalizat este o funcție complicată de poziție și de regula nu poate fi exprimată în formă concisă.

Planul de mișcare este perpendicular pe vectorul momentului cinetic L, care este constant; acest lucru poate fi exprimat matematic prin ecuația vectorului r ⋅ L = 0; deoarece A se află în acest plan, A ⋅ L = 0.

Vectorul LRL diferă de alte mărimi fizice conservative prin următoarea proprietate: pentru mărimile conservative tipice există o coordonată ciclică corespunzătoare Lagrangeanul tridimensional al sistemului dar pentru vectorul LRL nu există o astfel de coordonată. Prin urmare, conservarea vectorului LRL trebuie dedusă direct, de exemplu, prin metoda parantezelor Poisson, așa cum este descris mai jos. Mărimile conservative de acest tip sunt numite "dinamice", spre deosebire de legile de conservare obișnuite "geometrice", de exemplu, cele ale momentului cinetic.

Definiția matematică

Pentru o singură particulă acționată de o forță centrală dată printr-o lege invers proporțională cu distanța, descrisă de ecuația

\mathbf {F} (r)={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ~,

vectorul LRL 'A' este definit matematic prin formula: ^[1]

\mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}}

Unde

$m$ este masa particulei aflată sub acțiunea unei forțe centrale,
p este vectorul impuls al particulei,
L = r × p este vectorul moment cinetic al particulei,
$k$ este facorul de proporționalitate din expresia legii forței centrale,
r este vectrul de poziție a particulei (vezi Figura 1),
$\mathbf {\hat {r}}$ este vectorul unitate a vectorului de poziție, iar, $\mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}$ unde $r$ reprezintă mărimea vectorului r.

.

Deoarece forța este conservativă, energia sistemului $E$ este o constantă a mișcării,

E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}~.

Mai mult, forța, presupusă că este o forță centrală și, rezultă că vectorul de moment cinetic "L" este o mărime conservativă și definește planul în care particula se mișcă. Vectorul LRL 'A' este perpendicular pe vectorul momentul cinetic L deoarece atât p × L cât și r sunt perpendiculare pe L. Rezultă că A se află în planul orbitei.

Această definiție a vectorului LRL A se referă la o singură particulă masă $m$ care se mișcă sub acțiunea unei forțe fixe. Cu toate acestea, aceeași definiție poate fi extinsă la o problemă cu două particule cum ar fi problema lui Kepler, luând $m$ ca masa redusă a celor două corpuri și r ca vector între cele două corpuri.

O varietate pentru aceeași constantă de mișcare poate fi, de asemenea, utilizată. Cea mai comună este de a scala prin $'mk' '$ pentru a defini vectorul excentricitate

\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} ~.

Scalări alternative, simboluri și formulări

Vezi și

Referințe

^ ^a ^b Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (ed. 2nd). Addison Wesley. pp. 102–105, 421–422.
^ Arnold, VI (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (ed. 2nd). New York: Springer-Verlag. p. 38. ISBN 0-387-96890-3.
^ ^a ^b Pauli, W (1926). „Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik”. Zeitschrift für Physik. 36: 336–363. Bibcode:1926ZPhy...36..336P. doi:10.1007/BF01450175.
^ Fock, V (1935). „Zur Theorie des Wasserstoffatoms”. Zeitschrift für Physik. 98: 145–154. Bibcode:1935ZPhy...98..145F. doi:10.1007/BF01336904.
^ Bargmann, V (1936). „Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock”. Zeitschrift für Physik. 99: 576–582. Bibcode:1936ZPhy...99..576B. doi:10.1007/BF01338811.
^ ^a ^b Hamilton, WR (1847). „The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction”. Proceedings of the Royal Irish Academy. 3: 344–353.
^ ^a ^b ^c Goldstein, H. (1975). „Prehistory of the Runge–Lenz vector”. American Journal of Physics. 43: 737–738. Bibcode:1975AmJPh..43..737G. doi:10.1119/1.9745.
Goldstein, H. (1976). „More on the prehistory of the Runge–Lenz vector”. American Journal of Physics. 44: 1123–1124. Bibcode:1976AmJPh..44.1123G. doi:10.1119/1.10202.
^ ^a ^b Hamilton, WR (1847). „Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions”. Proceedings of the Royal Irish Academy. 3: Appendix III.
^ Hermann, J (1710). „Unknown title”. Giornale de Letterati D'Italia. 2: 447–467.
Hermann, J (1710). „Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710”. Histoire de l'academie royale des sciences (Paris). 1732: 519–521.
^ Bernoulli, J (1710). „Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710”. Histoire de l'academie royale des sciences (Paris). 1732: 521–544.
^ Laplace, PS (1799). Traité de mécanique celeste. Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.
^ Laplace, PS (1799). Traité de mécanique celeste. Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.
^ Gibbs, JW; Wilson EB (1901). Vector Analysis. New York: Scribners. p. 135.
^ Runge, C (1919). Vektoranalysis. I. Leipzig: Hirzel.
^ Lenz, W (1924). „Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung”. Zeitschrift für Physik. 24: 197–207. Bibcode:1924ZPhy...24..197L. doi:10.1007/BF01327245.

[goldstein_1980-1] Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (ed. 2nd). Addison Wesley. pp. 102–105, 421–422.

[2] Arnold, VI (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (ed. 2nd). New York: Springer-Verlag. p. 38. ISBN 0-387-96890-3.

[pauli_1926-3] Pauli, W (1926). „Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik”. Zeitschrift für Physik. 36: 336–363. Bibcode:1926ZPhy...36..336P. doi:10.1007/BF01450175.

[fock_1935-4] Fock, V (1935). „Zur Theorie des Wasserstoffatoms”. Zeitschrift für Physik. 98: 145–154. Bibcode:1935ZPhy...98..145F. doi:10.1007/BF01336904.

[bargmann_1936-5] Bargmann, V (1936). „Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock”. Zeitschrift für Physik. 99: 576–582. Bibcode:1936ZPhy...99..576B. doi:10.1007/BF01338811.

[hamilton_1847_hodograph-6] Hamilton, WR (1847). „The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction”. Proceedings of the Royal Irish Academy. 3: 344–353.

[goldstein_1975_1976-7] Goldstein, H. (1975). „Prehistory of the Runge–Lenz vector”. American Journal of Physics. 43: 737–738. Bibcode:1975AmJPh..43..737G. doi:10.1119/1.9745.
Goldstein, H. (1976). „More on the prehistory of the Runge–Lenz vector”. American Journal of Physics. 44: 1123–1124. Bibcode:1976AmJPh..44.1123G. doi:10.1119/1.10202.

[hamilton_1847_quaternions-8] Hamilton, WR (1847). „Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions”. Proceedings of the Royal Irish Academy. 3: Appendix III.

[9] Hermann, J (1710). „Unknown title”. Giornale de Letterati D'Italia. 2: 447–467.
Hermann, J (1710). „Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710”. Histoire de l'academie royale des sciences (Paris). 1732: 519–521.

[10] Bernoulli, J (1710). „Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710”. Histoire de l'academie royale des sciences (Paris). 1732: 521–544.

[11] Laplace, PS (1799). Traité de mécanique celeste. Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.

[12] Laplace, PS (1799). Traité de mécanique celeste. Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.

[13] Gibbs, JW; Wilson EB (1901). Vector Analysis. New York: Scribners. p. 135.

[14] Runge, C (1919). Vektoranalysis. I. Leipzig: Hirzel.

[15] Lenz, W (1924). „Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung”. Zeitschrift für Physik. 24: 197–207. Bibcode:1924ZPhy...24..197L. doi:10.1007/BF01327245.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+'''Vectorul Laplace-Runge-Lenz (LRL)''', în [[mecanica clasică]] este un [[vector]] utilizat în general pentru a descrie forma și orientarea orbitei unui corp astronomic în jurul altuia, cum ar fi, de exemplu, o planetă care se rotește în jurul unei stele. Pentru două corpuri care interacționează gravitaținal după legea lui Newton, vectorul LRL este o [[integrală primă a mișcării]], ceea ce înseamnă că valoarea lui este aceeași în orice punct de pe orbită; echivalent, se spune că vectorul LRL se conservă<ref name="goldstein_1980">{{cite book | last=Goldstein | first=H. | authorlink=Herbert Goldstein | date=1980 | title=Classical Mechanics | edition=2nd | publisher=Addison Wesley | pages=102–105, 421–422}}</ref>. Generalizat, vectorul LRL se conservă în toate problemele în care două corpuri interacționează între ele printr-o [[forță centrală]], adică una care variază invers proporțional cu pătratul distanței dintre ele; astfel de probleme se numesc [[Problema lui Kepler|probleme Kepler]].<ref>{{cite book | last = Arnold | first = VI | authorlink = Vladimir Arnold | date = 1989 | title = Mathematical Methods of Classical Mechanics | edition = 2nd | publisher = Springer-Verlag | location = New York | page = 38 | isbn = 0-387-96890-3}}</ref>
-'''Vectorul Laplace-Runge-Lenz''' este un vector care descrie formă și orientarea orbitei corpurilor celeste. Este o mărime conservată pentru două corpuri interacționînd gravitațional.
-== Note ==
+Din punct de vederea mecanic, atomul de hidrogen este și el o problemă Kepler, deoarece reprezintă un sistem dinamic compus din două particule încărcate cu sarcină electrică care interacționează prin [[legea lui Coulomb]] din [[electrostatică]],  care esteo altă forță centrală cu variație invers proporțională cu pătratul distanței. Folosirea vectorului '''LRL''' a fost esențială la prima deducere a spectrului atomului de hidrogen în cadrul mecanicii cuantice, înainte de dezvoltarea teoriei cunantice al lui Schrödinger.<ref name="pauli_1926">{{cite journal | last = Pauli | first = W | authorlink = Wolfgang Pauli | date = 1926 | title = Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 36 | pages = 336–363 | doi = 10.1007/BF01450175|bibcode = 1926ZPhy...36..336P }}</ref> cu toate acestea, această abordare este rar utilizată astăzi.
-<!-- Vedeți http://ro.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Citarea_surselor -->
+În mecanica clasică și cuantică, mărimile fizice care se conservă corespund în general unei simetrii la translații sau rotații a sistemului. Conservarea vectorului '''LRL''' corespunde unei simetrii neobișnuite; problema Kepler este echivalentă din punct de vedere matematic cu o particulă care se mișcă liber pe suprafața unei hipersfere cu patru dimensiuni<ref name="fock_1935" >{{cite journal | last = Fock | first = V | authorlink = Vladimir Fock | date = 1935 | title = Zur Theorie des Wasserstoffatoms | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 98 | pages = 145–154 | doi = 10.1007/BF01336904|bibcode = 1935ZPhy...98..145F }}</ref>, astfel încât întreaga problemă este simetrică la anumite rotații ale spațiului tridimensional.<ref name="bargmann_1936" >{{cite journal | last = Bargmann | first = V | authorlink = Valentine Bargmann | date = 1936 | title = Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 99 | pages = 576–582 | doi = 10.1007/BF01338811|bibcode = 1936ZPhy...99..576B }}</ref> Această simetrie sporită rezultă din două proprietăți ale problemei Kepler: vectorul vitezei, pentru o energie anumită energie totală dată a sistemului se mișcă întotdeauna într-un cerc perfect și toate aceste cercuri se intersectează  în aceleași două puncte.<ref name="hamilton_1847_hodograph">{{cite journal | last = Hamilton | first = WR | authorlink = William Rowan Hamilton | date = 1847 | title = The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = 344–353 }}</ref>
+Vectorul Laplace-Runge-Lenz a fost denumit după [[Pierre-Simon de Laplace]], [[Carl Runge]] și [[Wilhelm Lenz]]. De asemenea, mai este cunoscut sub una din denumirile: ''vectorul Laplace'', ''vectorul Runge-Lenz'' sau ''vectorul Lenz''. În mod ironic, nici unul dintre acești oameni de știință nu a definit-o. Vectorul LRL a fost redefinit de mai multe ori<ref name="goldstein_1975_1976">{{cite journal | last=Goldstein | first=H. | authorlink=Herbert Goldstein | date=1975 | title=Prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=[[American Journal of Physics]] | volume=43 | pages=737–738 | doi=10.1119/1.9745|bibcode = 1975AmJPh..43..737G }}<br />{{cite journal | last=Goldstein | first=H. | authorlink=Herbert Goldstein | date=1976 | title=More on the prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=[[American Journal of Physics]] | volume=44 | pages=1123–1124 | doi=10.1119/1.10202|bibcode = 1976AmJPh..44.1123G }}</ref> și este echivalent cu vectorul de excentricitate fără dimensiuni din cadrul mecanicii cerești.<ref name="hamilton_1847_quaternions">{{cite journal | last = Hamilton | first = WR | authorlink = William Rowan Hamilton | date = 1847 | title = Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = Appendix III}}</ref>  Au fost definite diferite generalizări ale vectorului '''LRL''', care țin cont de efectele relativității speciale, câmpurilor electromagnetice și chiar diferitelor alte tipuri de forțe centrale.
+==Istoric==
+Vectorul LRL '''A''' este o constantă (integrală primă) a mișcării a problemei lui Kepler și este utilă în descrierea orbitelor mișcării planetelor. Cu toate acestea, nu a fost niciodată bine răpandit printre fizicieni probabil pentru că este o mărime fizică mai puțin intuitivă decât impulsul și momentul cinetic. În consecință, ea a fost redescoperită independent de mai multe ori în ultimele trei secole.<ref name="goldstein_1975_1976" />
+[[Jakob Hermann]] a fost primul care a arătat că '''A''' este o mărime conservativă pentru un caz special al mișcării unui corp ceresc sub acțiunea unei forțe centrale invers proporțională cu pătratul distanței dintre corp și centrul forței(ales ca originea sistemului de referință)<ref>{{cite journal| last = Hermann | first = J | authorlink = Jakob Hermann | date = 1710 | title = Unknown title | journal = Giornale de Letterati D'Italia | volume = 2 | pages = 447–467}}<br />{{cite journal| last = Hermann | first = J | authorlink = Jakob Hermann | date = 1710 | title = Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710 | journal = Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) | volume = 1732 | pages = 519–521}}</ref> și a realizat legătura sa cu excentricitatea orbitei eliptice. Descoperirea lui Hermann a fost generalizată în forma sa modernă de către [[Johann Bernoulli]] în anul 1710. <ref>{{cite journal| last = Bernoulli | first = J | authorlink = Johann Bernoulli | date = 1710 | title = Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710 | journal = Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) | volume = 1732 | pages = 521–544}}</ref>. La sfârșitul secolului al XVVV-lea, [[Pierre-Simon de Laplace]] a redescoperit conservarea lui '''A'''<ref>{{cite book | last = Laplace | first = PS | authorlink = Laplace | date = 1799 | title = Traité de mécanique celeste | pages = Tome I, Premiere Partie,  Livre II, pp.165ff | nopp = true}}</ref>,  mai degrabă pe cale analitică, decât geometrică. <ref>{{cite book | last = Laplace | first = PS | authorlink = Laplace | date = 1799 | title = Traité de mécanique celeste | pages = Tome I, Premiere Partie,  Livre II, pp.165ff | nopp = true}}</ref> La mijlocul secolului al XIX-lea, [[William Rowan Hamilton]] a dedus expresia ''vectorului echivalent de excentricitate'' ([[#Scalări alternative, simboluri și formulări|definit mai jos]]) <ref name="hamilton_1847_quaternions" />, folosindu-l pentru a arăta că pe parcursul mișcării sub acțiunea unei forțe centrale invers proporționale cu pătratul distanței, vectorul său de impuls '''p''' se mișcă pe un cerc (Figura 3)<ref name="hamilton_1847_hodograph" />
+La începutul secolului al XX-lea, [[Josiah Willard Gibbs]] a dedus același vector prin [[analiză vectorială]] <ref>{{cite book | last = Gibbs | first = JW | authorlink = Josiah Willard Gibbs |author2=Wilson EB  | date = 1901 | title = Vector Analysis | publisher = Scribners | location = New York | page = 135}}</ref>. Deducția lui Gibbs a fost folosită ca un exemplu de [[Carle Runge]] într-un manual popular despre vectori, apărută în limba germană <ref>{{cite book | last = Runge | first = C | authorlink = Carle David Tolmé Runge | date = 1919 | title = Vektoranalysis | publisher = Hirzel | location = Leipzig | volume = I | nopp = true}}</ref> , exemplu la care a făcut apel [[Wilhelm Lenz]] în lucrarea sa despre studiul cuantic al atomului de hidrogen<ref>{{cite journal | last = Lenz | first = W | authorlink = Wilhelm Lenz | date = 1924 | title = Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 24 | pages = 197–207 | doi = 10.1007/BF01327245|bibcode = 1924ZPhy...24..197L }}</ref> În 1926, vectorul LRL a fost folosit de [[Wolfgang Pauli]] pentru a deduce spectrul energetic al hidrogenului utilizând mecanica cuantică modernă, fără  ecuația Schrödinger <ref name="pauli_1926" />, după publicarea lucrării lui Pauli, a devenit cunoscută mai ales ca ''vectorul Runge-Lenz''. În prezent vectorul LRL,'''A''', este cunoscut sub denumirea de ''vectorul Laplace-Runge-Lenz'', cu referire la numele savanților care l-au foslosit cu succes în studiile lor și nu la cel care l-a descoperit primul.<ref name="goldstein_1975_1976">{{cite journal | last=Goldstein | first=H. | authorlink=Herbert Goldstein | date=1975 | title=Prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=[[American Journal of Physics]] | volume=43 | pages=737–738 | doi=10.1119/1.9745|bibcode = 1975AmJPh..43..737G }}<br />{{cite journal | last=Goldstein | first=H. | authorlink=Herbert Goldstein | date=1976 | title=More on the prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=[[American Journal of Physics]] | volume=44 | pages=1123–1124 | doi=10.1119/1.10202|bibcode = 1976AmJPh..44.1123G }}</ref>
+==Inroducere==
+O particulă (punct material) care se mișcă sub acțiunea oricărei forțe centrale conservative are cel puțin patru constante de mișcare (integrale prime ale mișcarii): energia totală E și cele trei componente carteziene ale vectorului momentului cinetic '''L''' în raport cu originea sistemului de referință. Orbita particulei este conținută ntr-un plan definit de impulsul inițial al particulei '''p''' (sau, în mod echivalent, de viteza sa '''v''') și vectorul '''r''' dintre centrul forței (ales ca originea sistemului de referință) și  particulă (vezi Figura 1, mai jos).
+După cum este definit mai jos (a se vedea [[#Definiția matematică|Definiția matematică]]), vectorul Laplace-Runge-Lenz (vector '''LRL''') A se află întotdeauna în planul de mișcare pentru orice forță centrală. Cu toate acestea, '''A''' este constant doar pentru o forță centrală cu variație invers proporțională cu pătratul distanței. Pentru majoritatea forțelor centrale, vectorul '''A''' nu este constant, se schimbă atât în mărime cât și în direcție; dacă forța centrală are aproximativ o lege invers pătrată, vectorul A este aproximativ constant în valoare, dar roteste încet. Pentru toate forțele centrale poate fi definit un vector LRL conservativ generalizat <math>\mathcal{A}</math> , dar acest vector generalizat este o funcție complicată de poziție și de regula nu poate fi exprimată în formă concisă.
+Planul de mișcare este perpendicular pe vectorul momentului cinetic '''L''', care este constant; acest lucru poate fi exprimat matematic prin ecuația vectorului {{nowrap|1='''r''' ⋅ '''L''' = 0}};  deoarece '''A''' se află în acest plan, {{nowrap|1='''A''' ⋅ '''L''' = 0}}.
+Vectorul '''LRL''' diferă de alte mărimi fizice conservative prin următoarea proprietate: pentru mărimile conservative tipice există o coordonată ciclică corespunzătoare [[Lagrangean]]ul tridimensional al sistemului dar pentru vectorul '''LRL''' nu există o astfel de coordonată. Prin urmare, conservarea vectorului '''LRL''' trebuie dedusă direct, de exemplu, prin metoda [[Paranteză Poisson|parantezelor Poisson]], așa cum este descris mai jos. Mărimile conservative de acest tip sunt numite "dinamice", spre deosebire de legile de conservare obișnuite "geometrice", de exemplu, cele ale momentului cinetic.
+==Definiția matematică==
+Pentru o singură particulă acționată de o [[forță centrală]] dată printr-o lege invers proporțională cu distanța, descrisă de ecuația
+:<math>\mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}}~,</math>
+vectorul LRL '' 'A' '' este definit matematic prin formula: <ref name = "goldstein_1980" />
+:<math> \mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}}</math>
+Unde
+*  {{mvar|m}}  este [[masa]] particulei aflată sub acțiunea unei forțe centrale,
+*  '''p'''  este vectorul [[impuls]] al particulei,
+*  '''L''' = '''r''' × '''p''' este vectorul [[moment cinetic]] al particulei,
+* {{mvar|k}}  este facorul de proporționalitate din expresia legii forței centrale,
+* '''r''' este vectrul de poziție a particulei (vezi Figura 1),
+* <math>\mathbf{\hat{r}}</math> este vectorul unitate a vectorului de poziție, iar, <math>\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r}</math> unde {{mvar|r}} reprezintă mărimea vectorului '''r'''.
+.
+Deoarece forța este [[conservativă]], energia sistemului {{mvar | E}} este o [[constantă a mișcării]],
+:<math>
+E = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{k}{r}  ~.
+</math>
+Mai mult, forța, presupusă că este o forță centrală și, rezultă că vectorul de moment cinetic "L" este o mărime conservativă și definește planul în care particula se mișcă. Vectorul LRL '' 'A' '' este perpendicular pe vectorul [[momentul cinetic]] '''L''' deoarece atât {{nowrap|'''p''' × '''L'''}}  cât și '''r''' sunt perpendiculare pe '''L'''. Rezultă că '''A''' se află în planul orbitei.
+Această definiție a vectorului LRL '''A''' se referă la o singură particulă  masă {{mvar | m}} care se mișcă sub acțiunea unei forțe fixe. Cu toate acestea, aceeași definiție poate fi extinsă la o problemă cu două particule cum ar fi problema lui Kepler, luând {{mvar | m}} ca [[masa redusă]] a celor două corpuri și '''r''' ca vector între cele două corpuri.
+O varietate  pentru aceeași constantă de mișcare poate fi, de asemenea, utilizată. Cea mai comună este de a scala prin {{math | 'mk' '}} pentru a defini vectorul [[excentricitate]]
+:<math> \mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}}  ~ .
+</math>
+==Scalări alternative, simboluri și formulări==
 == Vezi și ==
@@ Linia 10: / Linia 63: @@
+==Referințe==
+{{Reflist|30em}}
 [[Categorie:Mărimi fizice]]