Transformare Legendre

Diagramă ce prezintă transformarea lui Legendre pentru funcţia $f(x)\,$. Funcţia e marcată cu roşu, iar tangenta în punctul $(x_{0},\ f(x_{0}))\,$ e trasată cu albastru. Tangenta intersectează axa verticală în $(0,\ -f^{*})$ iar $f^{*}\,$ este valoarea transformatei Legendre $f^{*}(p_{0})\,$, unde $p_{0}={\dot {f}}(x_{0})$ .

Transformarea lui Legendre este o metodă de transformare a variabilelor. Permite trecerea de la o funcție de stare a unui sistem la o altă funcție, adaptată configurației sistemului. Are aplicații în special în termodinamică.

Preliminarii

În calcule, în locul unei funcții $f(x)\,$ este mai util de utilizat o transformată a acesteia, al cărei argument să fie chiar derivata funcției inițiale p = df/dx.

Prin transformarea indicată de Legendre se obține funcția:

$f^{\star }(p)=\mathrm {max} _{x}(px-f(x)).$

Definiții

Pentru a obține maximul lui

$px-f(x)\,$

se pune condiția ca derivata acesteia să fie zero:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0.\quad \quad (1)\,$

Așadar maximul este atins când:

$p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)$.

Acesta este un maxim deoarece a doua derivată este negativă:

${\mathrm {d} ^{2} \over \mathrm {d} x^{2}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0,$

deoarece s-a presupus că $f$ este convexă. Mai departe, din (2) se obține $x$ ca o funcție de $p$ și se introduce în (1). Se obține o formă mai utilă:

$f^{\star }(p)=p\,\,x(p)-f(x(p)).$