Teoria probabilităţilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Teoria probabilităţilor reprezintă studiul matematic al probabilităţilor, cu alte cuvinte, al fenomenelor caracterizate de incertitudine şi de întâmplare.

Cuprins

1 Scurt istoric
2 Probabilitatea evenimentelor aleatoare
3 Repartiţii
4 Teoreme limită pentru sume de variabile aleatoare independente
- 4.1 Teorema Moivre-Laplace
- 4.2 Teorema limită centrală
5 Bibliografie

[modifică] Scurt istoric

Începuturile teoriei probabilităţilor sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal şi Pierre Fermat în secolul XVII, ajungând la probleme legate de probabilitate datorită jocurilor de noroc. Dezvoltarea teoriei probabilităţilor şi cercetarea unor probleme nelegate de jocurile de noroc sunt legate de matematicienii: Abraham Moivre, Pierre Simone de Laplace, Carl Friedrich Gauss, Simon-Denis Poisson, Pafnuti Lvovici Cebîşev, Andrei Andreevici Markov în secolul XIX, iar în secolul XX Andrei Nikolaevici Kolmogorov şi al lui Alexandr Iakovlevici Hincin.

[modifică] Probabilitatea evenimentelor aleatoare

[modifică] Clasificarea evenimentelor:

a) sigur - evenimentul apariţiei una din feţele 1,2,3,4,5,6 la un zar;
b) imposibil- evenimentul apariţiei feţei 7 la un zar;
c) aleator - evenimentul apariţiei feţei 3 la un zar.

[modifică] Frecvenţa unui eveniment

$h(E)\,$ = ${m \over n}$ , unde m reprezintă numărul de apariţii E în cazul a n încercări.

[modifică] Probabilitatea unor evenimente aleatoare

În cazul unui număr n suficient de mare de experimente în care evenimentul E apare de m ori, frecvenţa relativă m/n poate fi socotită ca valoarea probabilităţilor. Această valoare se numeşte probabilitatea (statistică a) evenimentului E şi se notează P(E); P(E) = ${m \over n}$ .

[modifică] Evenimente incompatibile, contrare

Evenimente incompatibile - evenimentele nu se produc simultan.
Evenimente contrare - producerea unuia înseamnă nerealizarea celorlalte.

[modifică] Regula de adunare şi cea de înmulţire

Regula de adunare

Probabilitatea reuniunii unui număr de evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor acestor evenimente:
P(E $_1\cup$ E $_2\cup$ E $_3\cup$ E $_4\cup$ ... $\cup$ E $K$ )=P(E $1$ )+P(E $2$ )+P(E $3$ )+ P(E $4$ )+...+P(E $K$ ).

Regula de înmulţire

pentru evenimente independente: P(E $\cup$ F)=P(E) $\cdot$ P(F)
pentru evenimente condiţionate: P(E $\cup$ F)=P(F) $\cdot$ P(E/F)

[modifică] Câmp de evenimente. Câmp Borel de evenimente

Mulţimea S e un element a lui B.
Dacă două mulţimi E $1$ şi E $2$ sunt elemente ale lui B atunci E $_1\cup$ E $2$ , E $_1\cap$ E $2$ sunt elemente ale lui B.
Dacă mulţimile E $1$ , E $2$ , ..., E $n$ , ... sunt elemente ale lui B, atunci E $_1\cup$ E $_2\cup$ ...E $_n\cup$ ... şi E $_1\cap$ E $_2\cap$ ...E $_n\cap$ sunt de asemenea elemente ale lui B.

Câmp de evenimente - condiţiile 1 şi 2
Câmp Borel de evenimente - condiţiile 1, 2, 3.

[modifică] Sistemul de axiome Kolmogorov

Axioma 1. Fiecărui eveniment aleator E din câmpul de evenimente îi este ataşat un număr real nenegativ P(E) numit probabilitatea lui E. Axioma 2. Probabilitatea evenimentului sigur S P(S)=1.
Axioma 3. Dacă evenimentele E $1$ , E $n$ sunt incompatibile două câte două, atunci P(E $_1\cup$ E $_2\cup$ ... $\cup$ E $n$ )=P(E $1$ )+P(E $2$ )+...+P(E $n$ )
Axioma de adunare extinsă. Dacă apariţia unui eveniment E echivalentă cu apariţia unui oarecare eveniment E $1$ ,..., E $n$ , ... incompatibile două câte două, atunci P(E)=P(E $1$ )+P(E $2$ )+...+P(E $n$ )+...

[modifică] Variabile aleatoare şi repartiţii

Variabilă aleatoare: variabila ia valori diferite în cazul mai multor experimente efectuate în aceleaşi condiţii.
Variabila aleatoare discretă: poate lua un număr finit de valori.
Variabila aleatoare continuă: poate lua un număr infinit de valori.
Repartiţia: mulţimea, a cărei elemente sunt perechile formate din valorile pe care poate să le ia variabila şi probabilitatea corespunzătoare.

[modifică] Valoarea medie şi dispersia

[modifică] Valoarea medie

Variabila aleatoare X ce ia valorile x $i$ şi probabilităţile corespunzătoare p $i$
$M(X)\,$ = $\sum^\infty_{i=2}x_i p_i$
Variabila continuă X şi f(x) - densitatea de repartiţie continuă
$M(X)\,$ = $\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx$

[modifică] Valorile medii ale sumelor şi produselor de variabile aleatoare

Valoarea medie a sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii a celor două variabile aleatoare M(Z)=M(X)+M(Y), unde Z=X+Y, tot variabilă aleatoare. Valoarea medie a produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul valorilor medii ale variabilelor aleatoare M(Z)=M(X)×M(Y).

[modifică] Dispersia pentru o variabilă aleatoare discretă

Dispersia σ² sau D(x) este o măsură pentru devierea de la medie. Se obţine prin însumarea produselor dintre pătratul devierii de la medie (x $i$ - μ) şi probabilitatea corespunzătoare.
$\sigma^2=\sum^n_{i=1} (x_i - \mu)^2 \times p_i$

[modifică] Dispersia pentru o variabilă aleatoare continuă

Dispersia σ² sau D(x) este o măsură pentru devierea de la medie. Se obţine prin integrarea de la - ∞ la + ∞ a produsului dintre pătratul abaterii de la medie (x-μ) şi densitatea de repartiţie f(x).
$\sigma^2= \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\,dx$

[modifică] Dispersia sumei a două variabile aleatoare independente

Dispersia unei sume de două variabile aleatoare independente este egală cu suma dispersiilor celor două variabile σ $2$ ²=σ $x$ ²+σ $y$ ²

[modifică] Inegalitatea lui Cebîşev

Fie X o variabilă discretă sau continuă cu valorile x, valoare medie μ şi dispersia σ². Probabilitatea ca modulul diferenţei (x-μ) să fie mai mare sau egal cu un număr oarecare ε>0 este mai mică sau egală cu câtul dinspre dispersia σ² şi pătratul lui ε.
$P\left (\big|x-\mu\big|\ge \epsilon\right )\le {\sigma^2 \over \epsilon^2}$

[modifică] Legea numerelor mari

Enunţ Bernoulli

Probabilitatea ca modulul diferenţei dintre frecvenţa relativă a evenimentului E în cazul a n experimente (n suficient de mare) şi probabilitatea p a evenimentului E să fie mai mic ca ε pozitiv, arbitrar de mic e aproximativ egală cu unu.
$P\left (\bigg|{m \over n}-p\bigg|< \epsilon\right )\ge 1-\frac{1}{4\epsilon^2n}$

Enunţ Cebîşev

Probabilitatea ca modulul diferenţei dintre media aritmetică A a valorilor medii a n variabile aleatoare independente (n suficient de mare) şi media aritmetică a variabilelor aleatoare să fie mai mică decât ε e aproximativ egală cu unu. $P\left (\Bigg|{1 \over n}\sum^n_{i=1} X_i-A\Bigg|< \epsilon\right )\ge 1-\frac{b^2}{n\epsilon^2}$ .

[modifică] Repartiţii

Repartiţia binomială (Bernoulli)

Legea de repartiţie: $P_n (k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

Media: μ = np

Dispersia: σ² = np(1-p)

Formula de recurenţă: $P_n (k+1)=\frac{n-k}{k+1} \cdot \frac{p}{1-p} P_n (k)$

Repartiţia Poisson

Este asemănătoare cu cea binomială, deosebindu-se prin faptul că n poate fi foarte mare (n-> ∞) şi p foarte mic (p->0).

Legea de repartiţie: $\Psi_n (k)=\frac{a^k e^{-a}}{k!}$

Media: a

Dispersia: a

Formula de recurenţă: $\Psi_{n+1} (k)=\frac{a}{k+1} \Psi_n (k)$

Repartiţia Gauss (normală)

Densitatea de repartiţie: $p(x)=\frac{1}{a\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-b)^2}{2 a^2}}$

Media: μ=b

Dispersia: σ²=a²

Repartiţia normală redusă

Densitatea de repartiţie: $\varphi(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\lambda^2}{2}}$

Media: μ=0

Dispersia: σ²=1

Cu ajutorul substituţiei λ=(x-μ)/σ şi se face pentru a înlesni calculele.

Funcţia de repartiţie (integrala lui Gauss)

$F(x)=\int_{-\infty}^{x} p(t)\, dt=\frac{1}{a\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-b)^2}{2 a^2}}\, dt$

[modifică] Teoreme limită pentru sume de variabile aleatoare independente

[modifică] Teorema Moivre-Laplace

Unde n reprezintă experimentele, p probabilitatea ca E să apară şi q=1-p probabilitatea ca E să nu apară.
$P\left\{a\le\sum_{k=1}^n \frac{mb-\mu}{\sqrt{mpq}}<b\right\}$ -> $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx$

[modifică] Teorema limită centrală

Dacă variabilele aleatoare independente două câte două x $1$ , x $2$ , ..., x $n$ au aceeaşi repartiţie şi dacă μ=M(x $n$ ) şi σ²=Δ²(x $n$ )>0 atunci variabila aleatoare $\frac{{1 \over n} \sum_{k=1}^n X_k-M\left ({1 \over n} \sum_{k=1}^n X_k\right )}{\Delta\left ({1 \over n^2} \sum_{k=1}^n X_k\right )}$ urmează o repartiţie normală redusă.

[modifică] Bibliografie

Mică enciclopedie matematică, Ed Tehnică, Bucureşti (1980)