Teorema sinusurilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În geometrie, teorema sinusurilor este o teoremă care stabilește relația dintre valorile laturilor unui triunghi și sinusurile unghiurilor dintre ele.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Dacă laturile unui triunghi au lungimile a, b și c, iar unghiurile care se opun acestora sunt A, B și C, atunci:

\frac{a}{\sin A}\,=\,\frac{b}{\sin B}\,=\,\frac{c}{\sin C}\,=\,2R

unde R este raza cercului circumscris triunghiului.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Teoremasin13.JPG

Construim cercul circumscris triunghiului ABC, la fel ca în figura alăturată.

Conform teoremei unghiului la centru,

BAC = \frac{BOC}{2}  \,

Pe de altă parte, triunghiul OBC este triunghi isoscel cu vârful în O, deci înălțimea OA' este și mediană și bisectoare. Rezultă că

BOA' = \frac{BOC}{2} =BAC \,

Deoarece triunghiul OBA' este triunghi dreptunghic cu vârful în A',

sin(BOA') = \frac{a}{2R}  \,

de unde rezultă că sin(A) = \frac{a}{2R} =BAC \, . Printr-un raționament similar, rezultă că și sinusurile unghiurilor B și C iau aceeași valoare.