Teorema lui Thales (cerc)

Teorema lui Thales (cerc) : dacă AC este diametrul, atunci unghiul B este unghi drept. Unghiurile α sunt subliniate cu roz, iar β cu verde

Teorema lui Thales (cea de-a doua) afirmă că dacă $A$, $B$ și $C$ sunt puncte situate pe un cerc, iar coarda $\overline{AC}$ este diametru, atunci unghiul $\angle{ABC}$ este drept.

Demonstrație

Fie $O$ centrul cercului. Întrucât $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$, triunghiurile $\Delta{OBC}$ și $\Delta{OAB}$ sunt isoscele în $O$, iar unghiurile acestora vor satisface relațiile
$\angle{OAB}=\angle{OBA}=:\alpha$  și  $~~\angle{OBC}=\angle{OCB}=:\beta$.

Atunci avem egalitatea de unghiuri
$\widehat{B} = \alpha + \beta = \widehat{A} + \widehat{C} = \frac{1}{2}( \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} ) = 180^\circ / 2 = 90^\circ ~~\text{q.e.d.}$

Teorema reciprocă

Locul geometric al punctelor din are A și C se văd sub același unghi drept este un cerc cu diametrul AC

„Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului său circumscris.”

Teorema și reciproca sa pot fi enunțate și astfel:

„Centrul unui cerc circumscris unui triunghi se află pe una dintre laturile triunghiului dacă și numai dacă triunghiul este dreptunghic.”

Vezi și

• Teorema lui Thales