Teorema lui Rolle

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Rolle este o teoremă enunțată prima oară de Michel Rolle în 1691. Dacă f este o funcție definită pe un interval I și a și b două puncte din I (a < b) și dacă f este continuă pe [a , b], derivabilă pe (a , b), iar f(a) = f(b), atunci există un punct c, a < c < b, în care derivata se anulează, f'(c)=0.

Enunț teoremă[modificare | modificare sursă]

Fie f:[a,b]\rightarrow R, a,b \in R, a<b. Dacă:

  1. f este continuă pe intervalul închis [a,b] ;
  2. f este derivabilă pe intervalul deschis (a,b) ;
  3. f are valori egale la capetele intervalului, f(a)=f(b ),

atunci există cel puțin un punct c din intervalul deschis (a,b),  c\in (a,b), în care derivata se anulează,

 f'(c)=0 \quad.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Se analizează cazurile:

  1. Funcția f este constantă pe intervalul închis [a,b]. În acest caz  f'(x)=0 \quad, oricare ar fi x\in {a,b} și deci orice punct c \in (a,b) răspunde concluziei teoremei.
  2. Funcția f nu este constantă. Cum f este continuă pe un compact [a,b], atunci din Teorema lui Weierstrass f este mărginită și își atinge marginile pe compact, adică există x_m, x_M\in [a,b] astfel încât

f(x_m)\ =\ m,

f(x_M)\ =\ M,

unde M=sup\ f(x), m=inf\ f(x) sunt marginea superioară, respectiv marginea inferioară a lui f. Deoarece f nu este constantă, rezultă

m\ <\ M.

Dacă punctul de minim x_m se află în interiorul intervalului [a,b], atunci conform Teoremei lui Fermat,

f'(x_m)=0 \quad.

Deci luând \ c=x_m\ teorema este demonstrată.

Dacă x_m \in {a,b} , deci \ x_m\ coincide cu unul din capetele intervalului \ [a,b]\ , atunci

\ f(a)=f(b)=f(x_m)=m<M=f(x_M)\ .

În acest caz este clar că \ x_M\ , punctul de maxim al lui \ f\ , se află în interiorul intervalului \ [a,b]\ . Din nou aplicând teorema lui Fermat se deduce

f'(x_M)=0 \quad.

Deci \ c=x_M\ și teorema este complet demonstrată.

Corolar[modificare | modificare sursă]

Fie f:[a,b]\rightarrow R , continuă pe \ [a,b]\ , derivabilă pe \ (a,b)\ și \ f(a)=f(b)=0\ , unde \ a,b\ sunt rădăcini pentru \ f\ .

Atunci există cel puțin un punct \ c\in(a,b)\ astfel încât f'(c)=0 \quad. Deci între două rădăcini ale funcției \ f\ se află cel puțin o rădăcină a derivatei f'\quad.

Interpretări[modificare | modificare sursă]

Interpretare geometrică[modificare | modificare sursă]

Teorema lui Rolle are o interpretare geometrică simplă. Din f'(c)=0 \quad rezultă că tangenta la graficul funcției \ f\ în punctul \ (c,f(c))\ este paralelă cu axa Ox. Deci dacă cerințele Teoremei lui Rolle sunt îndeplinite, atunci pe graficul funcției \ f\ există (cel puțin) un punct \ (c,f(c))\ în care tangenta este paralelă cu axa Ox.

Interpretare fizică[modificare | modificare sursă]

Presupunem că \ x\ este timpul și \ f(x)\ este coordonata unui punct, care se mișcă pe o dreaptă, la momentul \ x\ . La momentul \ x=a\ punctul are coordonata \ f(a)\ , apoi se mișcă într-un anumit mod cu viteza f'(x)\quad și se întoarce la punctul de plecare cu coordonata \ f(a)\ , la momentul \ x=b(f(a)=f(b)). Este clar că pentru a se întoarce la punctul \ f(a)\ , el trebuie să se oprească la un anumit moment, adică la un anumit moment \ x=c\ viteza este zero, f'(c)=0\quad.

Observații[modificare | modificare sursă]

  1. Teorema lui Rolle este o teoremă de existență.
  2. Toate cele trei cerințe din teorema lui Rolle sunt esențiale pentru ca teorema să fie adevărată. Dacă una din cele trei ipoteze nu se verifică, atunci concluzia teoremei nu mai are loc. Vom ilustra prin exemplele de mai jos acest lucru.

Exemplul 1[modificare | modificare sursă]

Fie funcția f:[0,1]\rightarrow R definită prin


f(x) = \begin{cases}1,
& x=0 \\
x,& x\in (0,1].
\end{cases}

Aceasta funcție verifică cerințele 2) și 3) din teoremă, dar nu verifică 1), adică \ f\ nu este continuă la dreapta în \ x=0\ . Deci \ f\ nu este continuă pe \ [0,1]\ . Avem f'(x)=1 \quad, oricare ar fi \ x\in (0,1)\ și prin urmare  f'(x)\neq 0 \quad, oricare ar fi \ x\in [0,1]\ .

Exemplul 2[modificare | modificare sursă]

Să considerăm f:[-1,1]\rightarrow R , \ f(x)=|x|\  pentru care se verifică 1) (continuitatea pe intervalul \ [-1,1]\  ), 3) (\ f(-1)=f(1)=1 ), dar nu se verifică 2) întrucât \ f\ nu este derivabilă în \ x=0\ . Prin urmare, nu există punct intermediar \ c\in (-1,1)\ în care f'(c)=0 \quad, căci


f'(x) = \begin{cases}-1,
& -1<x<0 \\
1,& 0<x<1.
\end{cases}
\quad

Exemplul 3[modificare | modificare sursă]

Fie f:[0,1]\rightarrow R , \ f(x)=x^2\  . Aceasta funcție verifică 1), 2) din teoremă, dar nu verifică 3) (\ f(0)=0\neq f(1)=1\  ). Așadar nu există \ c\in (0,1)\  astfel încât f'(c)=0 \quad deoarece f'(x)=2x \neq 1 \quad, oricare ar fi \ x\in (0,1)\  .

Exemplul următor vine să atragă atenția că necesitatea ca domeniul de definiție al funcției să fie interval este esențială.

Fie f:[0,3]-\{1\}\rightarrow R ,


f(x) = \begin{cases}-x+3,
& x\in [0,1) \\
x,& x\in (1,3].
\end{cases}

Evident \ f\  este derivabilă pe \ [0,3]-\{1\}\  și \ f(0)=f(3)=3\  și totuși \ f\  nu se anulează pe \ [0,3]-\{1\}\  . Mulțimea de definiție nu este interval.

3. Nu trebuie să se tragă concluzia că derivata unei funcții nu se anulează în niciun punct dacă acea funcție nu satisface una una din condițiile teoremei lui Rolle. Nu avem decât să luăm f:[-2,2]\rightarrow R , \ f(x)=|x^2-1|\

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Mircea Ganga, Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, volumul I, Elemente de Analiză Matematică, Editura MATHPRESS, Ploiești, 2004