Teorema lui Menelaus

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Cazul 1: Dreapta DEF trece prin triunghiul ABC
Cazul 2: Dreapta DEF nu trece prin triunghiul ABC

Teorema lui Menelaus este una din teoremele clasice ale geometriei. Poartă numele lui Menelau din Alexandria, căruia îi este atribuită.

Formulare[modificare | modificare sursă]

Dacă punctele D, E și F se conțin, respectiv, în dreptele BC, CA și AB ale triunghiului \triangle ABC, rezultă că ele sunt coliniare dacă și numai dacă are loc relația:

\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=1.

În particular, din teorema studiată rezultă rapoartele lungimilor:

\frac{|AE|}{|EC|}\cdot\frac{|CD|}{|DB|}\cdot\frac{|BF|}{|FA|}=1.

Teorema reciprocă[modificare | modificare sursă]

Dacă D aparține lui BC, E aparține lui CA, F aparține lui AB și dacă D, E, F sunt situate două pe laturi și unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor și dacă

\frac{DB}{DC}\cdot\frac{EC}{EA}\cdot\frac{FA}{FB}=1, atunci punctele D, E, F sunt coliniare.

Vezi și[modificare | modificare sursă]