Teorema lui Abel

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, Teorema lui Abel pentru seriile de puteri leagă limita unei serii de puteri de suma coeficienților acesteia. A fost denumită astfel în cinstea matematicianului norvegian Niels Henrik Abel.

Teorema[modificare | modificare sursă]

Fie  a\,=\,\{a_i, i \ge 0 \} un șir de numere reale sau complexe și fie

G_a(z)\,=\,\sum_{i=0}^{\infty} a_i z^i

o serie de puteri cu coeficienții a. Dacă seria \sum_{i=0}^{\infty} a_i este convergentă, atunci

\lim_{z\rightarrow 1^-} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i.\qquad (*)

În cazul special în care toți coeficienții a_i sunt reali și pozitivi, atunci formula (*) este valabilă și când seria \sum_{i=0}^{\infty} a_i nu este convergentă, în sensul că în acest caz ambele părți ale ecuației sunt egale între ele și egale cu +\infty.

Observație[modificare | modificare sursă]

Într-o versiune mai generală a teoremei, dacă r este orice număr real nenul pentru care seria 
\sum_{i=0}^\infty a_i r^i
este convergentă, atunci rezultă că

\lim_{z\to r} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_ir^i

dacă se interpretează limita din această formulă ca limita laterală, la stânga dacă r este pozitiv și la dreapta dacă r este negativ.

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Utilitatea teoremei lui Abel este aceea că permite găsirea limitei unei serii de puteri când argumentul său (z) tinde crescător către 1, chiar și în cazurile când raza de convergență, R, a seriei de puteri este chiar 1 și nu putem fi siguri dacă limita ar trebui să fie finită sau nu.

Ga(z) se numește funcție generatoare a șirului a. Teorema lui Abel este adesea utilă în tratarea funcțiilor generatoare de șiruri cu valori reale nenegative, cum ar fi funcțiile generatoare de probabilități. În particular, este utilă în teoria proceselor Galton-Watson.