Teorema creșterilor finite

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema creșterilor finite (cunoscută și sub numele de prima teoremă a mediei) se referă la o proprietate remarcabilă a funcțiilor reale derivabile definite pe un interval.

Teorema îi este atribuită matematicianului francez Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).[1][2]

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie I\subset \mathbb{R} un interval, funcția f:I \rightarrow \mathbb{R} și a,b\in I cu  a<b . Dacă:

  • f este continuă pe intervalul închis [a,b],
  • f este derivabilă pe intervalul deschis (a,b),

atunci există c \in (a,b) astfel încât: f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) (formula lui Lagrange sau formula creșterilor finite)

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Aplicând teorema lui Cauchy (a doua teoremă a mediei) pentru  g(t)=t rezultă:

 (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)

Dar  g'(t)=1, deci:

 f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

Interpretare geometrică[modificare | modificare sursă]

Interpretare geometrică: pentru orice funcție f(x) continuă pe [a, b] și derivabilă pe (a, b) există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f.

O interpretare geometrică a teoremei creșterilor finite poate fi dată cu ajutorul graficului unei funcții f(x) continuă pe intervalul [a, b] și derivabilă pe (a, b). Conform acestei teoreme, există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f (a se vedea figura alăturată).

Consecințe ale teoremei creșterilor finite[modificare | modificare sursă]

Consecința 1[modificare | modificare sursă]

Fie I\subset \mathbb{R} un interval. O funcție f:I \rightarrow \mathbb{R} este constantă pe I dacă și numai dacă are derivata nulă pe I.

Demonstrație

Necesitatea este evidentă.

Suficiența: Dacă f are derivata nulă pe I și t_1,t_2\in I cu t_1 <t_2 atunci din teorema lui Lagrange există c\in(t_1,t_2) cu f(t_2)-f(t_1)=f'(c)(t_2-t_1)=0 și deci f(t_2)=f(t_1), adică f este constantă pe I.

Consecința 2[modificare | modificare sursă]

Fie I\subset \mathbb{R} un interval și f,g:I \rightarrow \mathbb{R} derivabile pe I. Funcțiile f și g au aceași derivată pe I dacă și numai dacă există C \in \mathbb{R} cu g(t)=f(t)+C pentru orice t \in I (adică f și g diferă printr-o constantă).

Demonstrație

Funcțiile f și g au aceeași derivată pe I dacă și numai dacă funcția derivabilă h=g-f are derivată nulă pe I. Din Consecința 1 acest fapt are loc dacă și numai dacă h este constantă, ceea ce implică afirmația din enunț.

Consecința 3[modificare | modificare sursă]

Fie I\subset \mathbb{R} un interval a,b \in \mathbb{R} cu a<b și f:I \rightarrow \mathbb{R} continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b). Atunci

i) f este crescătoare pe [a,b] dacă și numai dacăf'(t)\geq 0, pentru orice t\in (a,b);

ii) f este descrescătoare pe [a,b] dacă și numai dacăf'(t)\leq 0, pentru orice t\in (a,b);

iii) f este strict crescătoare pe [a,b] dacă și numai dacă:

  • f'(t)\geq 0, pentru orice t\in (a,b);
  • mulțimea \lbrace t\in (a,b):f'(t)>0\rbrace este densă în (a,b);

iv) f este strict descrescătoare pe [a,b] dacă și numai dacă:

  • f'(t)\leq 0, pentru orice t\in (a,b);
  • mulțimea \lbrace t\in (a,b):f'(t)<0\rbrace este densă în (a,b).
Demonstrație

i)Necesitatea

Dacă f este crescătoare pe [a,b] atunci pentru orice t \in (a,b):

f'(t_0)= \lim_{t \to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\geq 0;

Suficiența

Dacă f'(t)\geq 0 atunci pentru orice t_1 și t_2 \in [a,b] cu t_1<t_2 avem (din teorema lui Lagrange) că există c \in (t_1,t_2) cu f(t_2)-f(t_1)=f'(c)(t_2-t_1)\geq 0 și deci f(t_2)\geq f(t_1), adică f este crescătoare pe [a,b].

ii) rezultă din (i) aplicat pentru funcția descrescătoare  -f .

iii) Necesitatea

Dacă f este strict crescătoare pe [a,b], atunci din (i) rezultă ca f'\geq 0 pe are (a,b) .Dacă pe un anumit interval deschis (a_0,b_0)\subset (a,b) am avea f'(t)=0 pentru orice t\in (a_0,b_0) atunci restricția funcției f la (a_0,b_0) ar fi constantă, ceea ce contrazice faptul că f este strict crescătoare pe [a,b].

Suficiența

Dacă sunt îndeplinite ambele condiții de la (iii) atunci f este crescătoare pe [a,b]. Dacă f nu ar fi strict crescătoare pe [a,b], ar rezulta că există un interval (a_0,b_0)\subset (a,b) astfel ca restricția funcției f la (a_0,b_0) este constantă, adică f'(t)=0 pentru orice t\in (a_0,b_0), ceea ce contrazice ipoteza a doua de la (iii).

iv) rezultă din (iii) aplicat pentru funcția  -f .

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ fr Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies, (1797), Journal de l'école polytechnique, 9-ème cahier, tome III, §52, p. 49.
  2. ^ Wieleitner, H., Istoria matematicii. De la Descartes pînă la mijlocul secolului al XIX-lea, Editura Științifică, București, 1964, p. 155.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]