Teorema Weierstrass-Bolzano

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, teorema Weierstrass-Bolzano exprimă o proprietate esențială a topologiei numerelor reale.

Este asociată matematicienilor Karl Weierstrass și Bernard Bolzano.

Enunț[modificare | modificare sursă]

O submulțime mărginită și infinită de numere reale are cel puțin un punct de acumulare.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie A o mulțime mărginită și infinită de numere reale. Există a, b \in \mathbb R \! cu a< x<b \! pentru orice x \in A. \! Luăm a_0=a, \; b_0 = b \! și considerăm c= \frac {a_0 + b_0}{2}. \!

Cel puțin unul din intervalele [a_0, c], [c, b_0] \! conține o infinitate de elemente din A. Se notează acest interval prin [a_1, b_1]. \! Deci [a_1, b_1] \subset [a_0, b_0] \! și că b_1 - a_1 = \frac {b-a}{2}. \! Repetând raționamentul, rezultă o familie de intervale I_n= [a_n, b_n] \! cu proprietățile:

a) I_{n+1} \subset I_n, \; \forall n \in \mathbb N \!

b) b_n - a_n = \frac {b-a}{2^n}. \!

Prima proprietate permite aplicarea principiului Cantor-Dedekind, de unde va rezulta că intersecția familiei de intervale este nevidă, adică va conține intervalul [\alpha, \beta ] \! ce apare în demonstrația principiului.

Folosind a doua proprietate și principiul lui Arhimede, se va arăta că intersecția familiei de intervale se reduce la un singur număr real, adică faptul că \alpha = \beta. \!

Din a_n < \alpha < \beta < b_n \! pentru orice n \in \mathbb N \! rezultă că:

\beta- \alpha< b_n - a_n < \frac {b-a}{2^n}, \; \forall n \in \mathbb N \!

și se obține:

2^n (\beta - \alpha) < b-a, \; \forall n \in \mathbb N. \!

Aplicând principiul lui Arhimede pentru x= b-a \! și pentru y= \beta - \alpha >0 \! rezultă că există n \in \mathbb N \! cu:

b-a < n (\beta - \alpha) < 2^n (\beta - \alpha) \!

fapt ce contrazice inegalitatea stabilită anterior, respectiv:

2^n (\beta - \alpha) < b-a, \; \forall n \in \mathbb N. \!

Se notează prin x_0 \! valoarea comună a lui \alpha \! și \beta. \! Pentru aceasta se demonstrează că x_0 \! este punct de acumulare pentru mulțimea A.

Fie V= (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \! o vecinătate a lui x_0. \! Se demonstrează mai întâi că există a_n \! și b_m \! cu

x_0 - \varepsilon < a_n < b_m < x_0 + \varepsilon. \!

Dacă pentru orice n avem că a_n < x_0 - \varepsilon \! atunci obținem că  [x_0- \varepsilon, x_0 ] \subseteq [a_n, b_n]  \! pentru orice n deci ar rezulta că intersecția intervalelor nu se reduce la un punct. Similar se obține existența lui b_m \! cu proprietatea menționată. În fapt, inegalitățile:

x_0 - \varepsilon < a_n < b_m < x_0 + \varepsilon \!

rezultă imediat și din construcția lui \alpha \! și \beta. \! Fie în continuare k= \max \{ n, m \}. \!

Avem inegalitățile:

x_0 - \varepsilon < a_n < a_k < b_k < b_m < x_0 + \varepsilon \!

și deoarece intervalul [a_k, b_k] \! conține o infinitate de elemente din mulțimea A, rezultă că x_0 \! este un punct de acumulare al mulțimii.

Legături externe[modificare | modificare sursă]