Spaţiu topologic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Pentru orice alte utilizări, vedeţi Spaţiu (dezambiguizare)

Un spaţiu topologic este o mulţime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noţiunile de vecinătate, convergenţă şi limită.

Ca definiţie formală, un spaţiu topologic este o pereche $(X,\mathcal{T})$ , cu $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X)$ ( $\mathcal{P}(X)$ desemnează mulţimea submulţimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăţi:

$\emptyset\in\mathcal{T}$ şi $X\in\mathcal{T}$
dacă $A,B\in\mathcal{T}$ , atunci $A\cap B\in\mathcal{T}$
dacă $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{T}$ , atunci $\bigcup \mathcal{A}\in\mathcal{T}$

Mulţimile din $\mathcal{T}$ se numesc mulţimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulţimea vidă şi spaţiul însuşi trebuie să fie mulţimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecţie de două mulţimi deschise să fie o mulţime deschisă; prin inducţie matematică rezultă de aici că intersecţia oricărei familii finite de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulţimi deschise să fie o mulţime deschisă.

Cuprins

1 Exemple
2 Vecinătăţi
3 Submulţimi speciale ale unui spaţiu topologic

[modifică] Exemple

$\mathcal{T}=\{\emptyset,X\}$ este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulţime.
$\mathcal{T}=\mathcal{P}(X)$ este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă.
Dacă d este o funcţie distanţă (o metrică) definită pe X (X este un spaţiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulţimi deschise toate mulţimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulţime:

$\mathcal{T}=\{A\in\mathcal{P}(X) | \forall x\in A,\exists \varepsilon\in(0,\infty):B(x,\varepsilon)\subseteq A\}$

unde $B(x,\varepsilon)=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon$ este bila (deschisă) de centru x şi de rază $\varepsilon$ .

[modifică] Vecinătăţi

Pentru detalii, vezi articolul Vecinătate (matematică)vezi articolele [[{{{2}}}]] şi [[{{{3}}}]]vezi articolele [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] şi [[{{{6}}}]]vezi articolele [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] şi [[{{{10}}}]].

Se numeşte vecinătate a unui punct $x\in X$ al unui spaţiu topologic orice submulţime $V\subseteq X$ ce conţine o mulţime deschisă ce conţine punctul $x$ : $\exists D\in\mathcal{T}\,:\ x\in D\subseteq V$ .

[modifică] Submulţimi speciale ale unui spaţiu topologic

[modifică] Mulţimi închise

Pentru detalii, vezi articolul Mulţime închisăvezi articolele [[{{{2}}}]] şi [[{{{3}}}]]vezi articolele [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] şi [[{{{6}}}]]vezi articolele [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] şi [[{{{10}}}]].

O submulţime a unui spaţiu topologic X se numeşte închisă dacă complementul său faţă de spaţiul X este o mulţime deschisă.

Din proprietăţile mulţimilor deschisă rezultă că mulţimea vidă, întreg spaţiul X, orice reuniune finită de mulţimi închise şi orice intersecţie (posibil infinită) de mulţimi închise este o mulţime închisă.

[modifică] Mulţimi conexe

Pentru detalii, vezi articolul Conexitate (topologie)vezi articolele [[{{{2}}}]] şi [[{{{3}}}]]vezi articolele [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] şi [[{{{6}}}]]vezi articolele [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] şi [[{{{10}}}]].

O submulţime M a unui spaţiu topologic X se numeşte conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulţimi deschise disjuncte:

$\not\exists A,B\in\mathcal{T},A\cap M\neq\emptyset,B\cap M\neq\emptyset, A\cap B=\emptyset, A\cup B\supseteq M$

Pentru întregul spaţiu X, condiţia de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulţime simultan închisă şi deschisă decât mulţimea vidă şi întregul spaţiu.

[modifică] Mulţimi compacte

Pentru detalii, vezi articolul Mulţime compactăvezi articolele [[{{{2}}}]] şi [[{{{3}}}]]vezi articolele [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] şi [[{{{6}}}]]vezi articolele [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] şi [[{{{10}}}]].

O submulţime M a unui spaţiu topologic X se numeşte compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{T}$ satisfăcând $\bigcup \mathcal{F}\supseteq M$ , există o subfamilie $\mathcal{F}_0\subseteq\mathcal{F}$ satisfăcând $\bigcup \mathcal{F}_0\supseteq M$ .