Serie hipergeometrică fundamentală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, prin serie hipergeometrică fundamentală, câteodată numită și q-serie hipergeometrică, se înțelege generalizarea q-seriilor analoage a seriei hipergeometrice ordinare. În mod uzual sunt definite două serii fundamentale: seria hipergeometrică fundamentală unilaterală și seria hipergeometrică fundamentală bilaterală.

Numele i-a fost dat prin analogie cu seria hipergeometrică ordinară. O serie ordinară \{x_n\} \,\! este numită o serie ordinară hipergeometrică în cazul în care raportul dintre termenii succesivi x_{n+1}/x_n \,\! este o funcție rațională de n. Dar dacă raportul termenilor succesivi este o funcție rațională de q^n \,\!, atunci seria se numește serie hipergeometrică fundamentală.

Serie hipergeometrică fundamentală a fost luată în considerație pentru prima dată de Eduard Heine în secolul XIX, ca un mod de a capta caracteristicile comune ale funcției theta a lui Jacobi si ale funcției eliptice.


Definiție[modificare | modificare sursă]

Seria hipergeometrică fundamentală unilaterală este definită ca:

\;_{j}\phi_k \left[\begin{matrix} 
a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\ 
b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} 
; q,z \right] = \sum_{n=0}^\infty  
\frac {(a_1, a_2, \ldots, a_{j};q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k,q;q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n

unde

(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n

este permutarea q-factorială. Cazul cel mai important se obține atunci când j = k+1, având forma:

\;_{k+1}\phi_k \left[\begin{matrix} 
a_1 & a_2 & \ldots & a_{k+1} \\ 
b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} 
; q,z \right] = \sum_{n=0}^\infty  
\frac {(a_1, a_2, \ldots, a_{k+1};q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k,q;q)_n} z^n.

Seria hipergeometrică fundamentală bilaterală corespounde seriei hipergeometrice bilaterale și este definită ca:

\;_j\psi_k \left[\begin{matrix} 
a_1 & a_2 & \ldots & a_j \\ 
b_1 & b_2 & \ldots & b_k  \end{matrix} 
; q,z \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty  
\frac {(a_1, a_2, \ldots, a_j;q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n}  \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{k-j}z^n.

Cazul cel mai important se obține atunci când j = k, având forma:

\;_k\psi_k \left[\begin{matrix} 
a_1 & a_2 & \ldots & a_k \\ 
b_1 & b_2 & \ldots & b_k  \end{matrix} 
; q,z \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty  
\frac {(a_1, a_2, \ldots, a_k;q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n} z^n.

Seria unilaterală poate fi obținută ca un caz special al celei bilaterale facând variabila b egală cu q, cel puțin atunci când nici una dintre variabilele a nu este o putere a lui q, caz în care toți termenii cu n < 0 vor dispărea.


Serii simple[modificare | modificare sursă]

Expresiile câtorva serii simple includ:

\frac{z}{1-q} \;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q \; q \\ 
q^2  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 
\frac{z}{1-q}
+ \frac{z^2}{1-q^2}
+ \frac{z^3}{1-q^3}
+ \ldots


\frac{z}{1-q^{1/2}} \;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q \; q^{1/2} \\ 
q^{3/2}  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 
\frac{z}{1-q^{1/2}}
+ \frac{z^2}{1-q^{3/2}}
+ \frac{z^3}{1-q^{5/2}}
+ \ldots


\;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q \; -1 \\ 
-q  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 1+
\frac{2z}{1+q}
+ \frac{2z^2}{1+q^2}
+ \frac{2z^3}{1+q^3}
+ \ldots.

Identități simple[modificare | modificare sursă]

\;_{1}\phi_0 (a;q,z) = \prod_{n=0}^\infty 
\frac {1-aq^n z}{1-q^n z}
\;_{1}\phi_0 (a;q,z) = 
\frac {1-az}{1-z} \;_{1}\phi_0 (a;q,qz).

Cazul special a=0 este strâns legat de q-exponențial.

Identitatea lui Ramanujan[modificare | modificare sursă]

Ramanujan a dat următoarea identitate:

\;_1\psi_1 \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} ; q,z \right] 
= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a;q)_n} {(b;q)_n} 
= \frac {(b/a;q)_\infty\; (q;q)_\infty\; (q/az;q)_\infty\; (az;q)_\infty }
{(b;q)_\infty\; (b/az;q)_\infty\; (q/a;q)_\infty\; (z;q)_\infty}

valabilă pentru |q|<1 \,\! și |b/a| < |z| < 1 \,\!. Similar identitatea \;_6\psi_6 a fost dată de Bailey. Astfel de identități pot fi înțelese ca o generalizare a teoremei produsului triplu al lui Jacobi, care poate fi scris folosind q-serii:

\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n(n+1)/2}z^n = 
(q;q)_\infty \; (-1/z;q)_\infty \; (-zq;q)_\infty.

Ken Ono a dat următoarea serie de puteri formală:

A(z;q) \stackrel{\rm{def}}{=} \frac{1}{1+z} \sum_{n=0}^\infty 
\frac{(z;q)_n}{(-zq;q)_n}z^n = 
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n} q^{n^2}.


Referințe[modificare | modificare sursă]