Seria lui Bertrand

Seria Bertrand este o serie definită prin:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha \ln ^{\beta }n}}},\!$

unde $\alpha \!$ și $\beta \!$ sunt numere reale.

Este atribuită matematicianului francez Joseph Bertrand.

Exemple de serii Bertrand:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n\ln n}},\;\;\sum _{n\geq 2}{\frac {\ln n}{n}},\;\;\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{{\sqrt {n}}\ln n}}.\!$

Studiul convergenței

Pentru a studia convergența acestei serii, mai întâi se va ține cont de faptul că dacă $\alpha <0,\!$ atunci șirul ${\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}\!$ nu este mărginit deci nu tinde la zero. Înseamnă că seria:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}},\!$

este divergentă. De aceea se presupune că $\alpha \geq 0.\!$

Se vor considera cazurile:

• Cazul 1: $0<\alpha <1\!$

Fie $p={\frac {\alpha +1}{2}}.\!$ Atunci $\alpha <p<1.\!$ Se remarcă faptul că:

$n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}={\frac {n^{p-\alpha }}{\ln ^{\beta }n}}.\!$

Deoarece $p-\alpha >0,\!$ avem:

$\lim _{n\to \infty }n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}=\infty .\!$

Astfel, pentru $N_{0}\geq 2,\!$ avem:

$n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}>1,\!$

ceea ce implică:

${\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}>{\frac {1}{n^{p}}}.\!$

Deoarece $p<1\!$ rezultă că seria $\sum {\frac {1}{n^{p}}}\!$ este divergentă, deci și seria:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}\!$

este divergentă.

• Cazul 2: $\alpha >1\!$

Fie $p={\frac {\alpha +1}{2}}.\!$ Deci $1<p<\alpha .\!$ Avem:

$n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}={\frac {1}{n^{\alpha -p}\ln ^{\beta }n}}.\!$

Deoarece $\alpha -p>0,\!$ rezultă:

$\lim _{n\to \infty }n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}=0.\!$

Astfel, pentru $N_{0}\geq 2,\!$ se obține:

$n^{p}\cdot {\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}<1.\!$

ceea ce implică:

${\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}<{\frac {1}{n^{p}}}.\!$

Seria $\sum {\frac {1}{n^{p}}}\!$ este convergentă deoarece $p>1.\!$ Rezultă că seria:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}\!$

este convergentă.

• Cazul 3: $\alpha =1\!$

Considerăm funcția:

$f(x)={\frac {1}{x\ln ^{\beta }x}}.\!$

E ușor de verificat că, pentru un x suficient de mare (mai exact $x>e^{-\beta }\!$), funcția $f(x)\!$ este descrescătoare. Vom demonstra atunci că:

$\int _{M}^{n+1}f(x)dx\leq {\frac {1}{(M+1)\ln ^{\beta }(M+1)}}+\cdots +{\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}},\!$

și

${\frac {1}{M\ln ^{\beta }M}}+\cdots +{\frac {1}{(n-1)\ln ^{\beta }(n-1)}}\leq \int _{M}^{n-1}f(x)dx,\!$

unde M este un număr întreg astfel ales încât f(x) este descrescătoare pe $(M,\infty ).\!$ De remarcat faptul că $\beta \neq 1,\!$ deci:

$\int _{M}^{n+1}{\frac {1}{x\ln ^{\beta }x}}dx={\bigg [}{\frac {1}{1-\beta }}\ln ^{1-\beta }x{\bigg ]}_{M}^{n+1}={\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }},\!$

și dacă $\beta =1\!$ (putem să luăm $M=2\!$), atunci avem:

$\int _{2}^{n+1}{\frac {1}{x\ln x}}dx={\bigg [}\ln(\ln x){\bigg ]}_{2}^{n+1}=\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln 2).\!$

Se consideră trei subcazuri:

Cazul a.: $\beta <1,\!$ atunci avem:

${\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }}\leq {\frac {1}{(M+1)\ln ^{\beta }(M+1)}}+\cdots +{\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}}.\!$

Deoarece $\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }}=\infty ,\!$ rezultă că seria $\sum {\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}}\!$ nu este mărginită, deci este divergentă.

Cazul b.: $\beta >1,\!$ atunci avem:

${\frac {1}{M\ln ^{\beta }M}}+\cdots +{\frac {1}{(n-1)\ln ^{\beta }(n-1)}}\leq {\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }},\!$

dar, deoarece:

${\frac {\ln ^{1-\beta }(n+1)-\ln ^{1-\beta }M}{1-\beta }}<{\frac {1}{\beta -1}},\!$

pentru valori mari ale lui n, obținem:

${\frac {1}{M\ln ^{\beta }M}}+\cdots +{\frac {1}{(n-1)\ln ^{\beta }(n-1)}}<{\frac {1}{\beta -1}},\!$

ceea ce înseamnă că șirul sumelor parțiale asociate seriei:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}}\!$

este marginit. Deci seria este convergentă.

Cazul c.: $\beta =1,\!$ avem:

$\int _{2}^{n+1}{\frac {x\ln x}{d}}x\leq {\frac {1}{3\ln 3}}+\cdots +{\frac {1}{n\ln n}},\!$

ceea ce implică:

$\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln 2)\leq {\frac {1}{3\ln 3}}+\cdots +{\frac {1}{n\ln n}}.\!$

Dar cum:

$\lim _{n\to \infty }\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln 2)=\infty ,\!$

ajungem la concluzia că șirul sumelor parțiale asociat seriei:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n\ln n}}\!$

nu este mărginit. Deci seria nu este divergentă.

Concluzii

În final, concluziile în ceea ce privește seria lui Bertrand:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}\!$

sunt următoarele:

$\alpha >1\!$	Seria este convergentă indiferent de valoarea lui $\beta .\!$
$\alpha <1\!$	Seria este divergentă indiferent de valoarea lui $\beta .\!$
$\alpha =1\!$	Seria este convergentă dacă și numai dacă $\beta >1.\!$

Exemple

De exemplu, seriile:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n\ln n}}\!$ și $\sum _{n\geq 2}{\frac {\ln n}{n}}\!$

sunt divergente iar seria:

$\sum _{n\geq 2}{\frac {\ln n}{n^{2}}}\!$

este convergentă.

Vezi și

Postulatul lui Bertrand

Legături externe

• SOSMath.com
• Gilles.Costantini.PagesPerso-Orange.fr
• UEL.education.fr Arhivat în 26 noiembrie 2006, la Wayback Machine.
• MateForum.ro Arhivat în 4 martie 2016, la Wayback Machine.