Reprezentare simplectică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În teoria reprezentărilor din matematică, o reprezentare simplectică este o reprezentare a unui grup sau o algebră Lie pe un spațiu vectorial simplectic (V, ω), care păstrează forma simplectică ω, în care ω este o formă biliniară antisimetrică nedegenerată:

\omega\colon V\times V \to \mathbb F

iar F un câmp scalar. O reprezentare a unui grup G păstrează pe ω dacă:

\omega(g\cdot v,g\cdot w)= \omega(v,w)

oricare ar fi g din G și oricare ar fi v și w din V, întrucât o reprezentare a unei algebre Lie, g, conservă pe ω dacă:

\omega(\xi\cdot v,w)+\omega(v,\xi\cdot w)=0

oricare ar fi ξ din g și v, w din V. Astfel, o reprezentare a lui G sau g este echivalentă cu homomorfismul unui grup sau algebră Lie de la G sau g la grupul simplectic Sp(V,ω) sau algebra lui Lie sp(V,ω).

Dacă G este un grup compact, de exemplu un grup finit, iar F un câmp de numere complexe, atunci, prin introducerea unei structuri unitare compatibile (care există datorită unui parametru mediat), putem arăta că orice reprezentare simplectică este o reprezentare cuaternionică. Adesea reprezentările cuaternionice sunt numite reprezentări simplectice și pot fi identificate cu ajutorul indicatorului Frobenius-Schur.

Referințe[modificare | modificare sursă]