Prismă (corp)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pentru alte sensuri, vedeți Prismă.

În geometrie, o prismă cu n laturi este un poliedru format prin extrudare de la un poligon cu n laturi (baza prismei). Cu alte cuvinte, o prismă este alcătuită dintr-un poligon cu n laturi, o copie a acestuia, deplasată cu un vector \overrightarrow{a}, precum și n fețe conectând laturile celor 2 poligoane în mod corespunzător. Aceste fețe sunt întotdeauna paralelograme. Toate secțiunile transversale paralele cu baza sunt egale. Deasemenea, dacă vectorul \overrightarrow{a} este perpendicular pe bază, înâlțimea prismei este egală cu lungimea acestuia ( |\overrightarrow{a}| ).

O dreaptă care alunecă pe un poligon oarecare și rămâne paralelă cu o dreaptă fixă (ce nu este paralelă cu planul poligonului director) descrie o „suprafață prismatică”. Dreapta mobilă se numește „generatoarea suprafeței”, iar poligonul se numește „director”. Când o suprafață prismatică se taie cu două plane paralele α și β care să nu fie paralele cu generatoarea, se delimitează un corp numit „prismă”.

O prismă este un corp limitat de o suprafață prismatică și două plane paralele, care taie generatoarele ei. Suprafața prismatică determină pe cele două plane paralele, două poligoane numite „bazele” prismei. Fețele prismei deosebite (diferite) de baze se numesc „fețe laterale” ale prismei.

Segmentele după care se taie câte două fețe laterale ale prismei se numesc „muchiile laterale” ale prismei. Când muchiile laterale ale prismei sunt perpendiculare pe planul bazei, prisma se numește „dreaptă”. Distanța între bazele prismei este „înălțimea” prismei. La prisma dreaptă muchia laterală este egală cu înălțimea.

O prismă dreaptă care are baza un poligon regulat se numește „prismă regulată”.

Prisma triunghiulară regulată (dreaptă)[modificare | modificare sursă]

Elementele prismei:

-Bazele prismei:\triangleABC și \triangleA'B'C' sunt triunghiuri echilaterale.

-Muchii laterale: AA'=BB'=CC'.

-Dreptunghiurile ABB'A', BCC'B', CAA'C' sunt fețe laterale.


Prisma patrulateră regulată (dreaptă)[modificare | modificare sursă]

Elementele prismei:

- Pătratele ABCD, A'B'C'D' sunt bazele prismei.

- Dreptunghiurile ABB'A', BCC'B', CDD'C', DAA'D' sunt fețe laterale.

-D'B=A'C sunt diagonalele prismei.

-Dreptunghiul ACC'A' (sau DBB'D') este secțiune diagonală a prismei patrulatere.

Dacă ABCD este dreptunghi (și prisma este dreaptă), prisma se numește paralelipiped dreptunghic.

Paralelipipedul dreptunghic are trei dimensiuni:

-lungimea (AB=L);

-lățime (BC=l);

-înălțime (AA'=h).

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghic sunt egale și lungimea fiecăreia se calculează folosind formula:

d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}.

Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile egale. Bazele și fețele laterale ale cubului sunt pătrate egale. Diagonala cubului este dată de formula:

d_{cub}=l\sqrt{3}, unde l este latura cubului.

Aria laterală. Aria totală. Volumul prismei[modificare | modificare sursă]

- Prin aria laterală a unei prisme se înțelege suma ariilor fețelor laterale.

Dacă prisma este dreaptă, aria laterală este dată de formula:

A_l= P_b \cdot h, unde

A_l este aria laterală a prismei,

P_b este perimetrul bazei,

h este 'înălțimea prismei.

- Aria totală a prismei este suma dintre aria laterală și ariile celor două baze:

A_t= A_l + 2 \cdot A_b, unde

A_t este aria totală a prismei,

A_l este aria laterală a prismei,

A_b este aria bazei.

- Pentru paralelipipedul dreptunghic, aria totală este dată de următoarea formulă:

A_t= 2 \cdot L \cdot l + 2 \cdot h \cdot l + 2 \cdot L \cdot h, unde

A_t este aria totală a paralelipipedului dreptunghic,

L este lungimea paralelipipedului dreptunghic,

l este lățimea paralelipipedului dreptunghic,

h este înălțimea paralelipipedului dreptunghic.

- Pentru cub, avem următoarele formule:

A_t= 6 \cdot l^2 ; A_l= 4 \cdot l^2, unde

A_t este aria totală a cubului,

A_l este aria laterală a cubului,

l este muchia cubului.

- Volumul prismei se calculează după formula:

V= A_b \cdot h, unde

V este volumul prismei,

A_b este aria bazei,

h este înălțimea prismei.

- În cazul paralelipipedului dreptunghic, pentru calculul volumului se folosește formula:

V= L \cdot l \cdot h, unde

L este lungimea paralelipipedului dreptunghic,

l este lățimea paralelipipedului dreptunghic,

h este înălțimea paralelipipedului dreptunghic.

- Pentru cub, volumul se exprimă cu formula:

V= l \cdot l \cdot l = l^3, unde

l este muchia cubului.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Mircea Diatlov, Culegere de probleme, Geometrie (învățată repede și bine), clasa a VIII-a, 2001.
  • Anton Negrilă, Maria Negrilă, Culegere de probleme pentru clasa a VIII-a, Mate 2000/2001, Editura Paralela 45, 2000.