Principiul Cantor-Dedekind

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Principiul Cantor-Dedekind pune în evidență o proprietate importantă de ordonare a numerelor reale, fiind la baza multor teoreme fundamentale ale analizei matematice. Mai este denumit și principiul de localizare al lui Cantor.

Este asociat cu numele matematicienilor Georg Cantor și Richard Dedekind.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Pentru orice familie numărabilă de intervale închise I_n= [a_n, b_n] \! cu I_{n+1} \subset I_n \! avem că \bigcap_{n \in \mathbb N} I_n \neq \varnothing. \!

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Din I_{n+1} \subset I_n \! se deduc inegalitățile:

a_1 < a_2 < \ldots < a_n < \ldots < b_m < \ldots < b_2 < b_1, \!

deoarece în caz contrar, adică dacă ar exista n_0, m_0 \! numere naturale cu b_{m0}< a_{n0} \! atunci luând k = \max \{ n_0, m_0 \} \! s-ar obține b_{m0}< a_{n0}< a_k < b_k \! absurd pentru m_0 < k. \!

Mulțimea A= \{ a_n, \; n \in \mathbb N  \} \!este majorată superior deci există \alpha = \sup A. \!

Avem că \alpha < b_m, \; \forall m \in \mathbb N. \! Într-adevăr, în caz contrar ar exista un m_0 \in \mathbb N \! cu b_{m0}< \alpha \! și în consecință există și un a_{n1} \! cu b_{m0}< a_{n1}< \alpha \! ceea ce contravine faptului că cele două familii de numere reale sunt disjuncte.

Mulțimea B = \{ b_m, \; m \in \mathbb N \} \! este minorată inferior deci există \beta = \inf B. \! Urmând același raționament rezultă că a_n < \beta, \; \forall n \in \mathbb N. \!

Se arată prin reducere la absurd\alpha < \beta. \!

Dacă \beta \le \alpha \! atunci există a_n \! cu \beta < a_n < \alpha \! și având în vedere prima inegalitate rezultă că există un b_m \! cu \beta < b_m < a_n \! fapt care conduce tot la o contradicție. Așadar \alpha \! și \beta \! sunt două numere reale cu proprietatea că a_n< \alpha < \beta< b_n \! pentru orice n \in \mathbb N \! și în consecință rezultă că intersecția familiei de intervale este nevidă conținând intervalul [\alpha, \beta]. \!

Consecințe[modificare | modificare sursă]

Teorema poate fi utilizată pentru demonstrarea teoremei Weierstrass-Bolzano.

Legături externe[modificare | modificare sursă]