Primitivele funcțiilor raționale

Acest articol face parte din seria de articole Primitive ale diferitelor funcții

Tabel de integrale

Raționale

Logaritmice

Exponențiale

Iraționale

Trigonometrice

Hiperbolice

Invers trigonometrice

Hiperbolice reciproce

Următorul articol este o listă de integrale (primitive) de funcții raționale. Pentru o listă cu mai multe integrale, vezi tabel de integrale și lista integralelor.

$\int (ax + b)^n dx$	$= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} \qquad\mbox{(pentru } n\neq -1\mbox{)}\,\!$
$\int\frac{dx}{ax + b}$	$= \frac{1}{a}\ln\left|ax + b\right|$
$\int x(ax + b)^n dx$	$= \frac{a(n + 1)x - b}{a^2(n + 1)(n + 2)} (ax + b)^{n+1} \qquad\mbox{(pentru }n \not\in \{1, 2\}\mbox{)}$

$\int\frac{x dx}{ax + b}$	$= \frac{x}{a} - \frac{b}{a^2}\ln\left|ax + b\right|$
$\int\frac{x dx}{(ax + b)^2}$	$= \frac{b}{a^2(ax + b)} + \frac{1}{a^2}\ln\left|ax + b\right|$
$\int\frac{x dx}{(ax + b)^n}$	$= \frac{a(1 - n)x - b}{a^2(n - 1)(n - 2)(ax + b)^{n-1}} \qquad\mbox{(pentru } n\not\in \{1, 2\}\mbox{)}$

$\int\frac{x^2 dx}{ax + b}$	$= \frac{1}{a^3}\left(\frac{(ax + b)^2}{2} - 2b(ax + b) + b^2\ln\left|ax + b\right|\right)$
$\int\frac{x^2 dx}{(ax + b)^2}$	$= \frac{1}{a^3}\left(ax + b - 2b\ln\left|ax + b\right| - \frac{b^2}{ax + b}\right)$
$\int\frac{x^2 dx}{(ax + b)^3}$	$= \frac{1}{a^3}\left(\ln\left|ax + b\right| + \frac{2b}{ax + b} - \frac{b^2}{2(ax + b)^2}\right)$
$\int\frac{x^2 dx}{(ax + b)^n}$	$= \frac{1}{a^3}\left(-\frac{(ax + b)^{3-n}}{(n-3)} + \frac{2b (a + b)^{2-n}}{(n-2)} - \frac{b^2 (ax + b)^{1-n}}{(n - 1)}\right) \qquad\mbox{(pentru } n\not\in \{1, 2, 3\}\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{x(ax + b)}$	$= -\frac{1}{b}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|$
$\int\frac{dx}{x^2(ax+b)}$	$= -\frac{1}{bx} + \frac{a}{b^2}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|$
$\int\frac{dx}{x^2(ax+b)^2}$	$= -a\left(\frac{1}{b^2(ax+b)} + \frac{1}{ab^2x} - \frac{2}{b^3}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|\right)$
$\int\frac{dx}{x^2+a^2}$	$= \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\,\!$
$\int\frac{dx}{x^2-a^2} =$	$-\frac{1}{a}\,\mathrm{arctanh}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{a-x}{a+x} \qquad\mbox{(pentru }|x| < |a|\mbox{)}\,\!$
	$-\frac{1}{a}\,\mathrm{arccoth}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{x-a}{x+a} \qquad\mbox{(pentru }|x| > |a|\mbox{)}\,\!$

$\int\frac{dx}{ax^2+bx+c} =$	$\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2>0\mbox{)}$
	$\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} = \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2<0\mbox{)}$
	$-\frac{2}{2ax+b}\qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2=0\mbox{)}$
$\int\frac{x dx}{ax^2+bx+c}$	$= \frac{1}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}$

$\int\frac{(mx+n) dx}{ax^2+bx+c} =$	$\frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2>0\mbox{)}$
	$\frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2<0\mbox{)}$
	$\frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2=0\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n} = \frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\!$

$\int\frac{x dx}{(ax^2+bx+c)^n} = \frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\!$

$\int\frac{dx}{x(ax^2+bx+c)} = \frac{1}{2c}\ln\left|\frac{x^2}{ax^2+bx+c}\right|-\frac{b}{2c}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}$

Orice funcție rațională poate fi integrată folosind ecuațiile de mai sus și descompunerea parțială a funcției, descompunerea funcției raționale în sumă de funcții de forma:

$\frac{ex + f}{\left(ax^2+bx+c\right)^n}$.