Primitivele funcțiilor exponențiale

Acest articol face parte din seria de articole Primitive ale diferitelor funcții

Tabel de integrale

Raționale

Logaritmice

Exponențiale

Iraționale

Trigonometrice

Hiperbolice

Invers trigonometrice

Hiperbolice reciproce

Următorul articol este o listă de integrale (primitive) de funcții exponențiale. Pentru o listă cu mai multe integrale, vezi tabel de integrale și lista integralelor.

$\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}$

$\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \ln a} a^{cx} \qquad\mbox{(pentru } a > 0,\mbox{ }a \ne 1\mbox{)}$

$\int xe^{cx}\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)$

$\int x^2 e^{cx}\;dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)$

$\int x^n e^{cx}\; dx = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} dx$

$\int\frac{e^{cx}\; dx}{x} = \ln|x| +\sum_{i=1}^\infty\frac{(cx)^i}{i\cdot i!}$

$\int\frac{e^{cx}\; dx}{x^n} = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,dx\right) \qquad\mbox{(pentru }n\neq 1\mbox{)}$

$\int e^{cx}\ln x\; dx = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)$

$\int e^{cx}\sin bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)$

$\int e^{cx}\cos bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)$

$\int e^{cx}\sin^n x\; dx = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;dx$

$\int e^{cx}\cos^n x\; dx = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;dx$

$\int x e^{c x^2 }\; dx= \frac{1}{2c} \; e^{c x^2}$

$\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; dx= \frac{1}{2 \sigma} (1 + \mbox{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}})$

$\int e^{x^2}\,dx = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;dx \quad \mbox{pentru } n > 0,$

unde $c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{2j\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ .$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\pi \over a}$ (Integrala gaussiană)

$\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,dx=b \sqrt{\pi \over a}$

$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,dx=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3}$

$\int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-{x^2}/{a^2}}\,dx=\sqrt{\pi} {(2n)! \over {n!}} {\left (\frac{a}{2} \right)}^{2n + 1}$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-{x^2}/{a^2}} \cos bx\,dx=a \sqrt{\pi}(\sin{a^2 b^2 \over 4}+\cos{a^2 b^2\over 4})$

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ ($I_{0}$ este funcția Bessel de speța I modificată)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$

$\int_{0}^{\infty} x^a e^{-bx} dx = \frac{a!}{b^{a+1}}$