Parte întreagă și parte fracționară

Se definește partea întreagă și partea fracționară a unui număr real astfel: Fie x un număr real.

1. Se numește parte întreagă a lui x cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x.
2. Se numește parte fracționară a lui x diferența dintre număr și partea lui întreagă.

Definiția este sugerată de axioma lui Arhimede: Pentru orice număr real x, există un număr întreg n, unic, astfel încât n ≤ x < n + 1.

Gauss a introdus notatia $\left[x\right]$.

Notații

• $[x]$ - partea întreagă a numărului real x.
• ${\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}$ - partea fracționară a numărului real x.

Exemple

• $\left[35,67\right]=35$
• ${\begin{Bmatrix}35,67\end{Bmatrix}}=0,67$

• $\left[-35,67\right]=-36$
• ${\begin{Bmatrix}-35,67\end{Bmatrix}}=0,33$

Proprietăți imediate

• Partea întreagă a oricărui număr real este un număr întreg, adică $\left[x\right]\in \mathbb {Z}$, pentru orice $x\in \mathbb {R}$

$\left[x\right]={\begin{cases}{\mbox{...}}\\-2,&{\mbox{pentru }}x\in \left[-2,-1\right)\\-1,&{\mbox{pentru }}x\in \left[-1,0\right)\\0,&{\mbox{pentru }}x\in \left[0,1\right)\\1,&{\mbox{pentru }}x\in \left[1,2\right)\\2,&{\mbox{pentru }}x\in \left[2,3\right)\\{\mbox{...}}\end{cases}}$

• Orice număr întreg mai mic sau egal cu x este mai mic sau egal decât partea întreagă a lui x: $\forall n\in \mathbb {Z}$, $\forall x\in \mathbb {R} ,n\leq x\Rightarrow \;n\leq [x]$

• Partea întreagă a unui număr este egală cu numărul, dacă și numai dacă numărul este întreg, adică $\left[x\right]=x\Leftrightarrow x\in \mathbb {Z}$

• Din Axioma lui Arhimede, rezultă inegalitatea părții întregi: Orice număr real este încadrat de doi întregi consecutivi,

adică pentru orice $x\in \mathbb {R}$

$\left[x\right]\leq \ x<\left[x\right]+1$,

de unde rezultă că

$x-1<\left[x\right]\leq \ x$

• Partea fracționară a unui număr real este un număr pozitiv subunitar sau nul: $0\leq {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}<1$, pentru orice $x\in \mathbb {R}$

• Partea fracționară a unui număr întreg este nulă: $x\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0$, pentru orice $x\in \mathbb {Z}$

Remarcă: Mulțimea numerelor reale se poate scrie ca reuniunea tuturor intervalelor care au capete numere întregi consecutive:

$\mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }^{}\left[n,n+1\right)$

Alte proprietăți

• Propoziția 1: Dacă $x<y$, atunci $\left[x\right]\leq \left[y\right]$

Demonstrație:

Din $\left[x\right]\leq \ x\leq \ y$, cum $\left[x\right]$ este un număr întreg mai mic sau egal decât y, rezultă că $\left[x\right]+\left[y\right]\leq x+y$, cum membrul stâng este un număr întreg și cel drept un număr real, rezultă $\left[x\right]\leq \left[y\right]$

• Propoziția 2: Partea întreagă a sumei a două numere reale este mai mare sau egală cu suma părților întregi ale fiecărui număr: $\left[x+y\right]\geq \ \left[x\right]+\left[y\right]$, pentru orice $x,y\in \mathbb {R}$

Demonstrație:

Din $\left[x\right]\leq \ x$ și $\left[y\right]\leq \ y$, rezultă $\left[x\right]+\left[y\right]\leq \ x+y$. Cum membrul stâng este un număr întreg și membrul drept este un număr real, rezultă că membrul stâng este mai mic decât partea întreagă a membrului drept: $\left[x\right]+\left[y\right]\leq \ \left[x+y\right]$

• Propoziția 3: Orice termen număr întreg al unei sume "se pierde" de sub partea întreagă: $\left[x+n\right]=\left[x\right]+n$, pentru orice $x\in \mathbb {R}$ și $n\in \mathbb {Z}$

Demonstrație:

Fie $x\in \mathbb {R}$. Se notează $k=\left[x\right]$. La inegalitatea părții întregi se adună k în toți membrii: $\left[x\right]\leq \ x<\left[x\right]+1|+k$, ceea ce este echivalent cu $\left[x\right]+k\leq \ x+k<\left[x\right]+k+1$. Așadar, numărul real $\left[x\right]+k$ este situat între doi întregi consecutivi, deci, $\left[x+n\right]=\left[x\right]+n$.

• Propoziția 4: Orice termen număr întreg al unei sume "iese" de sub partea fracționară: ${\begin{Bmatrix}x+n\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}$, pentru orice $x\in \mathbb {R}$ și $n\in \mathbb {Z}$

Demonstrație:

Fie $x\in \mathbb {R}$. ${\begin{Bmatrix}x+n\end{Bmatrix}}=x+n-\left[x+n\right]=x+n-\left(\left[x\right]+n\right)=x+n-\left[x\right]-n=x-\left[x\right]={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}$

• Propoziția 5: Identitatea lui Hermite: $\left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]$

Demonstrație: Fie $x\in \mathbb {R}$ cu $\left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leq x<n+1$

• Dacă x se află în prima jumătate a intervalului, adică: $n\leq x<n+{\frac {1}{2}}$ , se obține $n+{\frac {1}{2}}\leq x+{\frac {1}{2}}<n+1$, deci $\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n$. Așadar, $\left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n+n=2n$ (1).

$n\leq x<{\frac {2n+1}{2}}|\cdot 2\Leftrightarrow 2n\leq 2x<2n+1$, deci $\left[2x\right]=2n$ (2).

Din (1) și (2) rezultă $\left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]$.

• Dacă x se află în a doua jumătate a intervalului, adica: $n+{\frac {1}{2}}\leq x<n+1$, rezultă $n+1\leq x+1/2<n+{\frac {3}{2}}$, deci $\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n+1$, deci $\left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=2n+1$ (3)

${\frac {2n+1}{2}}\leq x<n+1|\cdot 2\Leftrightarrow 2n+1\leq 2x<2n+2$, deci $\left[2x\right]=2n+1$ (4)

Din (3) și (4) rezultă $\left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]$.

Funcția parte întreagă

Funcția $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {Z}$, $f(x)=\left[x\right]$, pentru orice $x\in \mathbb {R}$ se numește funcția parte întreagă. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

• Monotonie - monoton crescătoare pe $\mathbb {R}$: Dacă $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} ,x_{1}<x_{2}$, atunci $f(x_{1})\leq f(x_{2})$.
• Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
• Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr întreg este partea întreagă a cel puțin unui număr real: $\forall n\in \mathbb {Z}$, $\exists x\in \mathbb {R}$, astfel încât $n=f\left(x\right)$.
• Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este $\mathbb {R}$ \ $\mathbb {Z}$.
• Derivabilitate: fiind constantă pe porțiuni, are derivata nulă; domeniul de derivabilitate este $\mathbb {R}$ \ $\mathbb {Z}$.
• Alte proprietăți:

$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$,$\forall x,y\in \mathbb {R}$ (din Propoziția 2)

$f(x+n)=f(x)+f(n),\forall x\in \mathbb {R}$,$\forall n\in \mathbb {Z}$ (din Propoziția 3)

Funcția parte fracționară

Funcția $f:\mathbb {R} \rightarrow [0,1)$, $f(x)={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}$, pentru orice $x\in \mathbb {R}$ se numește funcția parte fracționară. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

• Monotonie - este strict crescătoare pe orice interval de forma $[n,n+1)$, unde $n\in \mathbb {N}$: Dacă $x_{1},x_{2}\in [n,n+1),x_{1}<x_{2}$, atunci $f(x_{1})<f(x_{2})$.
• Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
• Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr subunitar pozitiv sau nul este partea fracționară a cel puțin unui număr real: $\forall y\in [0,1)$, $\exists x\in \mathbb {R}$, astfel încât $y=f\left(x\right)$.
• Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este $\mathbb {R}$ \ $\mathbb {Z}$.
• Derivabilitate: fiind egală cu diferența dintre $x$ și un n umăr întreg, are derivata egală cu 1; domeniul de derivabilitate este $\mathbb {R}$ \ $\mathbb {Z}$.
• Alte proprietăți:

$f(x+n)=f(x),\forall x\in \mathbb {R}$,$\forall n\in \mathbb {Z}$ (din Propoziția 4)

Bibliografie

• "Matematica - TC + CD" - I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolae, Cătălin-Petru Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN și Ed. NEDION - București, 2004
• "Matematica - TC + CD" - D. Savulescu, M. Chirciu, Ș. Alexe, N. Dragomir, T. Deaconu, A.R. Petrescu - Ed. Corint, București, 2008