Ortonormalitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În algebra liniară, doi vectori dintr-un spațiu cu produs scalar sunt ortonormali dacă sunt ortogonali (au produsul scalar 0) și au amândoi lungimea unitară (norma fiecăruia este 1). O mulțime de vectori ortonormali doi câte doi (oricare doi vectori din mulțime sunt ortonormali) se numește mulțime ortonormală. O bază care formează o mulțime ortonormală se numește bază ortonormală.

De exemplu, baza standard din Spațiul euclidian de 3 dimensiuni {i,j,k} este ortonormală, deoarece i·j = 0, j·k = 0, k·i = 0 și fiecare dintre ei este vector unitate.

O mulțime de vectori poate fi transformată într-o mulțime ortonormală prin aplicarea procedeului Gram-Schmidt, și apoi prin normalizarea fiecărui vector. În cazul funcțiilor reale, se presupune de regulă produsul scalar L² deci două funcții \phi(x) și \psi(x) sunt ortonormale peste intervalul [a,b] dacă

(1)\quad\langle\phi(x),\psi(x)\rangle = \int_a^b\phi(x)\psi(x)dx = 0,\quad{\rm and}
(2)\quad||\phi(x)||_2 = ||\psi(x)||_2 = \left[\int_a^b|\phi(x)|^2dx\right]^\frac{1}{2} = \left[\int_a^b|\psi(x)|^2dx\right]^\frac{1}{2} = 1.

O formulare echivalentă a celor două condiții este dată de operatorul Kronecker. O mulțime de vectori (funcții, matrice, secvențe etc)

 \left\{ u_1 , u_2 , ... , u_n , ... \right\}

formează o mulțime ortonormală dacă și numai dacă

 \forall n,m \ : \quad \left\langle u_n | u_m \right\rangle = \delta_{n,m}

unde < | > este produs scalar definit peste spațiul vectorial.

Vezi și[modificare | modificare sursă]