Număr Knudsen

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Numărul Knudsen (Kn) este un număr adimensional definit ca raportul dintre liberul parcurs molecular (λ) și o lungime caracteristică a corpului sau a mișcării (L). Lungimea poate fi raza corpului, coarda unui profil, etc. Denumirea acestui număr a fost dată după numele fizicianului danez Martin Knudsen (1871–1949).


Definiție[modificare | modificare sursă]

Numărul adimensional Knudsen este definit ca:

\mathit{Kn} = \frac {\lambda}{L}

în care:

Pentru un gaz ideal, liberul parcurs molecular poate fi calculat, astfel că avem:

\mathit{Kn} = \frac {k_B T}{\sqrt{2}\pi\sigma^2 p L}

în care:

  • k_B este constanta lui Boltzmann (1.3806504(24) × 10−23 J/K în SI), [M1 L2 T-2 θ-1]
  • T temperatura termodinamică, [θ1]
  • \sigma diametrul particulei, [L1]
  • p presiunea totală, [M1 L-1 T-2].

Pentru particulele din atmosferă, presupunând că avem temperatura și presiunea standard, adică 25°C și 1 atm, avem \lambda ≈ 8 × 10−8 m.


Relația cu numerele Mach și Reynolds[modificare | modificare sursă]

Vâscozitatea dinamică este dată de formula: \mu =\frac{1}{2}\rho  \bar{c} \lambda.

Viteza medie a moleculei (din Distribuția Maxwell-Boltzmann):

\bar{c} = \sqrt{\frac{8 k_BT}{\pi  m}}

astfel liberul parcurs molecular este:

\lambda =\frac{\mu }{\rho }\sqrt{\frac{\pi  m}{2 k_BT}}

Divizând prin L (lungimea caracteristică) numărul Knudsen se scrie:

\frac{\lambda }{L}=\frac{\mu }{\rho  L}\sqrt{\frac{\pi  m}{2 k_BT}}

în care:

  • \bar{c} este viteza medie a moleculei, [L1 T-1]
  • T temperatura termodinamică, [θ1]
  • μ vâscozitatea dinamică, [M1 L-1 T-1]
  • m masa moleculară, [M1]
  • kB fiind constanta lui Boltzmann, [M1 L2 T-2 θ-1]
  • ρ densitatea, [M1 L-3].

Numărul Mach number se scrie:

\mathit{Ma} = \frac {U_\infty}{c_s}

viteza sunetului fiind dată de formula:

c_s=\sqrt{\frac{\gamma  R T}{M}}=\sqrt{\frac{\gamma  k_BT}{m}}

în care:

Numărul Reynolds poate fi scris sub forma:

\mathit{Re} = \frac {\rho  U_\infty L}{\mu}.

Divizând numărul Mach cu numărul Reynolds, avem:

\frac{Ma}{Re}=\frac{U_\infty \div  c_s}{\rho  U_\infty L \div  \mu }=\frac{\mu }{\rho  L c_s}=\frac{\mu }{\rho  L \sqrt{\frac{\gamma  k_BT}{m}}}=\frac{\mu }{\rho  L }\sqrt{\frac{m}{\gamma  k_BT}}

pe care dacă o multiplicăm cu \sqrt{\frac{\gamma  \pi }{2}}, obținem:

\frac{\mu }{\rho  L }\sqrt{\frac{m}{\gamma  k_BT}}\sqrt{\frac{\gamma  \pi }{2}}=\frac{\mu }{\rho  L }\sqrt{\frac{\pi  m}{2k_BT}}

Deci, legătura dintre numerele Mach, Reynolds și Knudsen este dată de relația:

Kn = \frac{Ma}{Re} \; \sqrt{ \frac{\gamma \pi}{2}}.


Aplicații[modificare | modificare sursă]

Numărul Knudsen este util pentru a determina dacă se folosește mediul continuu sau fizica statistică în rezolvarea problemelor de dinamica fluidelor. În general, pentru Kn < 0.01\, se folosește mecanica mediului continuu, iar pentru Kn > 0.01\, se folosește fizica statistică. Pentru cazul Kn \sim 0.01\,, încă se poate folosi mecanica mediului continuu, cu observația că, în apropierea unei frontiere solide viteza macroscopică a fluidului nu mai este egală cu cea a frontierei, ci apare o alunecare la perete.

Probleme în care numărul Knudsen are valoare ridicată includ, mișcarea particulelor de praf în atmosfera joasă, sau mișcarea unui satelit prin exosferă. Soluționarea curgerii aerului în jurul unei aripi de avion se face pentru numere Knudsen mici. Numărul Knudsen poate fi utilizat, printr-o ajustare a legii lui Stokes, la factorul de corecție Cunningham, care reprezintă o corecție a forței de rezistență datorită alunecării particulelor mici, având diametrul dp < 5 µm.


Vezi și[modificare | modificare sursă]


Referințe[modificare | modificare sursă]