Nilpotență

Problema 1 Fie matricea A $\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Sa se arate ca $A$ este nilpotenta daca si numai daca ${ \rm tr}\, (A^k)=0$ , oricare ar fi $k>0$ natural.

 Sunt cunoscute relatiile:

${\rm tr}\ (A^k)=\lambda_1^k+\lambda_2^k+...+\lambda_n^k,\ \forall k \in \mathbb{N}^*,\ \ (\star)$ unde $\lambda_i,\ i=1..n$ , sunt valorile proprii ale matricii $A$ .

Presupunem acum ca $A$ este nilpotenta , adica exista $p \in \mathbb{N}^*$ astfel incat $A^p=0$ . Fie $\lambda$ o valoare proprie asociata matricii $A$ si $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ un vector propriu nenul corespunzator valorii proprii $\lambda$ . Atunci avem $AX=\lambda X$ (1).

Presupunem $\lambda \neq 0$ . Deoarece $A^pX=0\cdot X=0$ , multimea $W=\{q \in \mathbb{N}*: A^qX=0\}$ este nevida si din proprietatea de buna ordonare a lui $\mathbb{N}$ rezulta faptul ca $W$ are un cel mai mic element, $w$ . Daca acesta este diferit de 1, atunci prin inmultirea relatiei (1) cu $A^{w-1}$ obtinem $A^wX=\lambda A^{w-1}X$ , de unde datorita a faptului ca $A^w=0$ si $\lambda \neq 0$ rezults ca $A^{w-1}X=0$ , ceea ce este o contradictie cu minimalitatea lui $w$ . Prin urmare $w=1$ si $AX=0$ . Folosind rela\c tia (1) avem si $\lambda X=0$ , ceea ce este o contradictie cu faptul ca $\lambda\neq 0$ si $X\neq 0$ . Deci presupunerea facuta este falsa si $\lambda=0$ .

Deoarece $\lambda$ a fost o valoare proprie aleasa arbitrar, orice valoare proprie a lui $A$ este 0. Din relatiile </math>(\star)</math> rezulta ca ${\rm tr}\ (A^k)=\sum_{i=1}^n\lambda_i^k=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*.$

Reciproc, presupunem ca ${\rm tr}(A^k)=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*$ . Folosim identitatile lui Newton: $(-1)^m \sum\limits_{1\leq i_1 <...<i_m\leq n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_m}+\sum\limits_{k=1}^m\left((-1)^{k+m}\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^k\right)\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_{m-k}\leq n}x_{i_1}...x_{i_{m-k}}\right)=0,$ pentru orice $m\leq n$ si oricare $n$ numere complexe $x_1,...,x_n$ . In particular, daca $x_i=\lambda_i,\ \forall i=1..n$ , atunci, din relatiile $(\star)$ si presupunerea facuta rezulta ca $\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^k=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*$ . Daca inlocuim $x_i$ in formulele lui Newton pentru $m=1,2,...,n$ obtinem: $\sum_{i=1}^nx_i=0,\ \sum_{1\leq i<j \leq n} x_ix_j=0,...,\ x_1x_2...x_n=0,$ adica coeficientii polinomului $p_A(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$ , polinomul caracteristic al lui $A$ , sunt 0, in afara de coeficientul dominant. Prin urmare $p_A(x)=x^n$ . Teorema Cayley-Hamilton spune ca $p_A(A)=0$ , adica $A^n=0$ . Prin urmare $A$ este o matrice nilpotenta.