Nilpotență

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Problema 1 Fie matricea A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) . Sa se arate ca A este nilpotenta daca si numai daca { \rm tr}\, (A^k)=0 , oricare ar fi k>0 natural.

 Sunt cunoscute relatiile: 

{\rm tr}\ (A^k)=\lambda_1^k+\lambda_2^k+...+\lambda_n^k,\ \forall k \in \mathbb{N}^*,\ \ (\star) unde \lambda_i,\ i=1..n, sunt valorile proprii ale matricii A.

Presupunem acum ca A este nilpotenta , adica exista p \in \mathbb{N}^* astfel incat A^p=0. Fie \lambda o valoare proprie asociata matricii A si X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) un vector propriu nenul corespunzator valorii proprii \lambda. Atunci avem AX=\lambda X (1).

Presupunem \lambda \neq 0. Deoarece A^pX=0\cdot X=0, multimea W=\{q \in \mathbb{N}*: A^qX=0\} este nevida si din proprietatea de buna ordonare a lui \mathbb{N} rezulta faptul ca W are un cel mai mic element, w. Daca acesta este diferit de 1, atunci prin inmultirea relatiei (1) cu A^{w-1} obtinem A^wX=\lambda A^{w-1}X, de unde datorita a faptului ca A^w=0 si \lambda \neq 0 rezults ca A^{w-1}X=0, ceea ce este o contradictie cu minimalitatea lui w. Prin urmare w=1 si AX=0. Folosind rela\c tia (1) avem si \lambda X=0, ceea ce este o contradictie cu faptul ca \lambda\neq 0 si X\neq 0. Deci presupunerea facuta este falsa si \lambda=0.

Deoarece \lambda a fost o valoare proprie aleasa arbitrar, orice valoare proprie a lui A este 0. Din relatiile </math>(\star)</math> rezulta ca {\rm tr}\ (A^k)=\sum_{i=1}^n\lambda_i^k=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*.

Reciproc, presupunem ca {\rm tr}(A^k)=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*. Folosim identitatile lui Newton: 
(-1)^m \sum\limits_{1\leq i_1 <...<i_m\leq n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_m}+\sum\limits_{k=1}^m\left((-1)^{k+m}\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^k\right)\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_{m-k}\leq n}x_{i_1}...x_{i_{m-k}}\right)=0, pentru orice m\leq n si oricare n numere complexe x_1,...,x_n. In particular, daca x_i=\lambda_i,\ \forall i=1..n, atunci, din relatiile (\star) si presupunerea facuta rezulta ca \displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^k=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*. Daca inlocuim x_i in formulele lui Newton pentru m=1,2,...,n obtinem: 
\sum_{i=1}^nx_i=0,\ \sum_{1\leq i<j \leq n} x_ix_j=0,...,\ x_1x_2...x_n=0,
adica coeficientii polinomului p_A(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n), polinomul caracteristic al lui A, sunt 0, in afara de coeficientul dominant. Prin urmare p_A(x)=x^n. Teorema Cayley-Hamilton spune ca p_A(A)=0, adica A^n=0. Prin urmare A este o matrice nilpotenta.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

http://planetmath.org/NilpotentMatrix.html