Mulţime densă
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
In matematică, în special în topologie, o submulţime A a unui spaţiu topologic X se numeşte densă (în X) dacă pentru orice punct x din X orice vecinătate a lui x conţine cel puţin un punct din A.
Altfel spus, A este densă în X dacă unica mulţime închisă din X care conţine pe A este însăşi X. Echivalent, închiderea lui A coincide cu X sau că interiorul complementarei lui A este mulţimea vidă.
Cuprins |
[modifică] Densitatea în spaţiile metrice
În cadrul spaţiilor metrice definiţia densităţii poate fi formulată astfel: mulţimea A din spaţiul metric X este densă dacă orice punct x din X este limita unui şir de puncte din A. Adică, A este densă în X atunci când
unde 
înseamnă închiderea lui A. Dacă {Un} este un şir de mulţimi deschise într-un spaţiu metric complet X, atunci la fel şi 
este densă în X.
[modifică] Exemple
- Orice spaţiu topologic este dens.
- În mulţimea numerelor reale înzestrată cu topologia uzuală, mulţimea numerelor raţionale şi mulţimea numerelor iraţionale sunt dense.
- Orice spaţiu metric X este dens în propria sa completare X * .
