Spațiu metric

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Metrică (matematică))
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, prin spațiu metric se înțelege orice mulțime X pe care este definită o funcție d:X\times X\to [0,\infty) ce satisface proprietățile:

Orice funcție d cu proprietățile de mai sus se numește funcție distanță sau metrică.

Exemple importante[modificare | modificare sursă]

unde x=(x_1,x_2,\ldots,x_n).

Bile[modificare | modificare sursă]

Prin bila deschisă de centru x\in X și de rază r\in(0,\infty), notată B(x,r), se înțelege mulțimea punctelor a căror distanță până la x este strict mai mică decât r: B(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}. Bila închisă de centru x și rază r, notată \tilde{B}(x,r) sau, uneori, \overline{B}(x,r), este \tilde{B}(x,r)=\{y\in X|d(x,y)\leq r\}.

De notat că, în raport cu topologia indusă de metrică (vezi secțiunea următoare), orice bilă deschisă este o mulțime deschisă și orice bilă închisă este o mulțime închisă. În orice spațiu metric are loc \tilde{B}(x,r)\subseteq\overline B(x,r), unde \overline{M} desemnează închiderea topologică a mulțimii M. În spațiile normate finit-dimensionale, de exemplu în \mathbb{R}, \mathbb{R}^n, \mathbb{C} și \mathbb{C}^n, are loc egalitatea \tilde{B}(x,r)=\overline B(x,r).

Topologia indusă de metrică[modificare | modificare sursă]

Orice metrică induce o topologie pe mulțimea de puncte. Astfel, orice spațiu metric este și spațiu topologic. Topologia indusă de metrică este definită astfel (oricare din cele două variante sunt echivalente):

  • O submulțime A\subseteq X a spațiului este deschisă dacă pentru orice punct al ei există o bilă centrată în acel punct și de rază nenulă inclusă în A (\forall x\in A, \exists r>0\,:\ B(x,r)\subseteq A)
  • O submulțime V\subseteq X este vecinătate a punctului x\in X dacă V include cel puțin o bilă de rază nenulă centrată în x:\exists r>0\,:\ B(x,r)\subseteq V

Echivalența metricilor[modificare | modificare sursă]

Pe o aceeași mulțime se pot defini mai multe funcții distanță, rezultând structuri de spațiu metric distincte pe aceeași mulțime de bază. Două funcții distanță, d_1 și d_2 definite pe aceeași mulțime X se numesc:

  • echivalente topologic dacă induc aceeași topologie pe X, adică dacă orice vecinătate în raport cu d_1 este vecinătate și în raport cu d_2
  • echivalente Lipschitz dacă există două constante reale pozitive a,b\in(0,\infty) astfel încât \forall x,y\in X\,,\ a\cdot d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq b\cdot d_1(x,y)

Două metrici Lipschitz-echivalente sunt întotdeauna echivalente topologic; reciproca nu este însă adevărată totdeauna.

Spații metrice complete[modificare | modificare sursă]

Un spațiu metric se numește complet dacă orice șir Cauchy este convergent.

De exemplu, mulțimea numerelor raționale nu este spațiu metric complet deoarece șirul x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n este fundamental fără a fi convergent (același șir, în mulțimea numerelor reale este convergent și are ca limită numărul e. În schimb, mulțimea numerelor reale este spațiu metric complet.