Teorema Stolz-Cesàro

În analiza matematică, teorema Stolz-Cesàro (numită și lema Stolz-Cesàro) este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir.

Enunț

Fie $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\!$ și $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\!$ două șiruri de numere reale, astfel încât $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\!$ este strict crescător și $\lim _{n\to \infty }y_{n}=\infty .\!$

Dacă există $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\in {\overline {\mathbb {R} }},\!$ atunci există și $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\!$ și

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}.\!$

Demonstrație

Fie (x_n) un șir mărginit. Rezultă că există intervalul I₁ = [ a₁, b₁ ], care conține toți termenii săi. Împărțim intervalul I₁ în două părți: [ a₁, (a₁ + b₁) / 2 ] și [ (a₁ + b₁) / 2, b₁ ]. Cel puțin una din aceste părți va conține o infinitate de termeni ai șirului (a_n). Notăm acest interval I₂ = [ a₂, b₂ ]. Evident, avem a₁ ≤ a₂ ≤ b₂ ≤ b₁ și b₂ - a₂ = (b₁ - a₁) / 2. Împărțim intervalul I₂ în două părți, astfel: [ a₂, (a₂ + b₂) / 2 ] și [ (a₂ + b₂) / 2, b₂ ]. Notăm cu I₃ = [ a₃, b₃ ], una din părțile care conțin o infinitate de termeni ai șirului (a_n). Se obține astfel: a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ b₃ ≤ b₂ ≤ b₁ și b₃ - a₃ = (b₁ - a₁) / 4.
Continuând procedeul de împărțire pentru intervalele rezultate se obține șirul de intervale I_n = [ a_n, b_n ], n ≥ 1, astfel încât:

a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n ≤ a_n+1 ≤ ... ≤ b_n+1 ≤ b_n ≤ ... ≤ b₂ ≤ b₁ și b_n - a_n = (b₁ - a₁) / 2ⁿ, n ≥ 1.

Din teorema lui Weierstrass rezultă că șirurile (a_n) și (b_n) sunt convergente și $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=x$.
Deoarece în fiecare interval I₁, I₂, ..., I_n, ... se află un număr infinit de termeni ai șirului (a_n), alegem câte un termen din fiecare interval:

a _n1 din I₁, a _n2 din I₂, ..., a _nk din I_k, unde n₁ < n₂ < ... < n_k < ....

Rezultă că a_p ≤ a_np ≤ b_p, p din N*, relație din care se obține cu criteriul cleștelui: $\lim _{p\to \infty }(a_{n})_{p}=\lim _{p\to \infty }a_{p}=\lim _{p\to \infty }b_{p}=x$. Așadar, subșirul (a_np) este convergent.

Aplicații

$1)$ Să se determine: $\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}{n}}.\!$

Rezolvare. Notăm: $x_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}\!$ și $y_{n}=n.\!$

Avem:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}.\!$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}-\ldots -{\frac {1}{n}}}{n+1-n}}\Rightarrow \!$

$\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{n+1}}{1}}\Rightarrow \!$

$\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}=0.\!$

$2)$ Să se determine $L=\lim _{n\to \infty }{\frac {1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}{n^{k+1}}}.$

Se consideră $x_{n}=1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}$ și $y_{n}=n^{k+1}$

Se ține seama că:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{k}}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}}={\frac {1}{k+1}},$

unde la numitor s-a efectuat descompunerea cu ajutorul binomului lui Newton.

Așadar, $L={\frac {1}{k+1}}.$

Bibliografie

Marius Burtea, Georgeta Burtea, Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Ed. Carminic, Pitești.