Integrală multiplă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

O integrală dublă interpretată ca volumul de sub o suprafaţă. Regiunea dreptunghiulară de la baza corpului este domeniul de integrare, iar suprafaţa este graficul funcţiei de două variabile care este integrată.

Noţiunea de integrală multiplă este similară cu noţiunea de integrală definită, extinsă la funcţii de mai multe variabile reale, de exemplu, $f (x, y)$ sau $f (x, y, z)$ .

Aşa cum integrala definită a unei funcţii pozitive de o singură variabilă reprezintă aria suprafeţei dintre graficul funcţiei şi axa x, integrala dublă a unei funcţii pozitive de două variabile reprezintă volumul regiunii de spaţiu aflată între graficul funcţiei şi planul care conţine domeniul de definiţie al acesteia. (Acelaşi volum poate fi obţinut prin calculul integralei triple — integrala unei funcţii de trei variabile — a funcţiei constante f(x, y, z) = 1 pe regiunea sus-menţionată, dintre suprafaţă şi plan.) Dacă există mai multe variabile, o integrală multiplă va da hipervolumul unei funcţii de mai multe variabile.

Integrala multiplă a unei funcţii de $\;n$ variables: $\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ pe un domeniu $\;D$ este reprezentată cel mai adesea prin semne succesive de integrare în ordinea inversă a execuţiei (cel mai din stânga semn de integrare este calculat ultimul) urmate de funcţie şi argumentele integrand în ordinea corectă (cel mai din stânga argument este ultimul calculat). Domeniul de integrare este fie reprezentat simbolic pentru fiecare integrand în dreptul fiecărui semn de integrare, fie este abreviat ca variabilă la cel mai din stânga semn de integrare:

$\iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;\mathbf{d}x_1 \mathbf{d}x_2\!\ldots\mathbf{d}x_n$

Fiind imposibil de calculat primitivele unei funcţii de mai multe variabile, nu există integrale multiple nedefinite. Toate integralele multiple sunt integrale definite.

Cuprins

1 Exemple
2 Definiţie matematică
- 2.1 Proprietăţi
- 2.2 Cazuri particulare
3 Metode de integrare

[modifică] Exemple

De exemplu, volumul paralelepipedului de laturi 4×6×5 may poate fi obţinut în mai multe moduri:

Prin integrala dublă

$\iint_D 5 \ dx\, dy$

a funcţiei f(x, y) = 5 calculată pe regiunea D din planul xy care este baza paralelipipedului.

Prin integrala triplă

$\iiint_\mathrm{parallelepiped} 1 \, dx\, dy\, dz$

a funcţiei constante 1 calculată pe paralelipiped.

[modifică] Definiţie matematică

Fie n un număr întreg mai mare ca 1. Se consideră un aşa numit dreptunghi n-dimensional semiînchis. Pentru un plan, n = 2, iar integrala multiplă este o integrală dublă.

$T=[a_1, b_1)\times [a_2, b_2)\times\cdots \times [a_n, b_n)\subset \mathbb R^n.$

Se împarte fiecare interval $[a i, b i)$ într-un număr finit de subintervale disjuncte, fiecare subinterval închis la stânga, şi deschis la dreapta. Se notează aceste subintervale cu $I i .$ Atunci, familia de dreptunghiuri de forma

$C=I_1\times I_2\times \cdots\times I_n$

este o partiţie a lui $T,$ adică subdreptunghiurile $C$ sunt disjuncte şi reuniunea lor este $T .$ Diametrul unui dreptunghi $C$ este, prin definiţie, cea mai mare din lungimile subintervalelor al căror produs este $C,$ iar diametrul unei partiţii date a lui $T$ este definit ca cel mai mare diametru al subdreptunghiurilor din partiţie.

Fie $f:T\to \mathbb R$ o funcţie definită pe un dreptunghi $T .$ Se consideră o partiţie

$T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m$

a lui $T$ definită ca mai sus, unde $m$ este un întreg pozitiv. O sumă Riemann este o sumă de forma

$\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)$

unde pentru fiecare $k$ , punctul $P k$ este din $C k,$ şi $\operatorname{m}(C_k)$ este produsul lungimilor intervalelor al căror produs cartezian este $C k .$

Despre funcţia $f$ se spune că este integrabilă Riemann dacă limita

$S = \lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)$

există, unde limita este calculată peste toate partiţiile posibile ale lui $T$ de diametru cel mult $δ.$ Dacă $f$ este integrabilă Riemann, $S$ se numeşte integrala Riemann a funcţiei $f$ pe mulţimea $T,$ şi se notează cu

$\int_T\!f(x)\,dx.$

Integrala Riemann a unei funcţii definită peste o mulţime $n$ -dimensională cu limite arbitrare, poate fi definită prin extinderea acelei funcţii la o funcţie definită pe un dreptunghi semiînchis ale cărei valori sunt zero în afara funcţiei originale. Atunci, integrala funcţiei originale pe domeniul original este definită ca integrala funcţiei extinse pe domeniul dreptunghiular, dacă aceasta există.

În cele ce urmează, integrala Riemann în n dimensiuni va fi numită integrală multiplă.

[modifică] Proprietăţi

Integralele multiple au multe din proprietăţile integralelor funcţiilor de o variabilă. În plus, ca şi în cazul cu o singură variabilă, se poate folosi integrala multiplă ca media unei funcţii pe o mulţime dată. Anume, dată fiind o mulţime $D\subset \mathbb R^n$ şi o funcţie integrabilă $f$ pe $D$ , valoarea medie a lui $f$ pe domeniul de definiţie este dată de

$\bar{f} = \frac{1}{m(D)} \int_D f(x)\, dx,$

unde $\;m(D)$ este măsura lui $\;D$ .

[modifică] Cazuri particulare

În cazul $T \subseteq \mathbb{R}^2,$ integrala

$\ell = \iint_T f(x,y)\, dx\, dy$

este integrala dublă a lui F pe T, şi dacă $T \subseteq \mathbb{R}^3$ integrala

$\ell = \iiint_T f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz$

este integrala triplă a lui F pe T.

Prin convenţie, integrala dublă are două semne de integrare, iar cea triplă are trei; aceasta este doar o convenţie de notare, şi este utilă la calculul unei integrale multiple ca integrală iterativă.

[modifică] Metode de integrare

Rezolvarea problemelor cu integrale multiple constă în majoritatea cazurilor în găsirea modalităţii de reducere a integralei multiple la o serie de integrale de o singură variabilă, fiecare fiind rezolvabilă prin metode specifice.

[modifică] Examinare directă

Uneori, este posibil să se obţină rezultatul integrării fără calcule directe.

[modifică] Constante

În cazul unei funcţii constante, rezultatul este direct: se înmulţeşte măsura domeniului cu funcţia constantă c. Dacă c = 1, şi integrarea se face pe o subregiune a lui R² rezultă aria acelei regiuni, iar în R³ este volumul regiunii.

De exemplu:

$D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \}$ and $f(x,y) = 2\,\!$

Se integrează f peste D:

$\int_2^4 \int_3^6 \ 2 \ dx\, dy = \mbox{area}(D) \cdot 2 = (2 \cdot 3) \cdot 2 = 12.$

[modifică] Folosirea unor posibile simetrii

În cazul unui domeniu în care există simetrii faţă de una dintre axe şi unde funcţia are cel puţin o paritate în raport cu o variabilă, integrala devine nulă (suma valorilor opuse şi egale în modul este zero).

Este suficient ca - în funcţii definite pe Rⁿ - valoarea dependentă este impară în raport cu axa de simetrie.

Exemplu (1):

Se dă $f(x,y) = 2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5$ şi $T = x^2 + y^2 \le 1$ suprafaţa de integrare (discul de rază 1 cu centrul în origina axelor, cu marginea inclusă).

Folosind proprietate de liniaritate, integrala poate fi descompusă în trei părţi:

$\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 2 \ \sin(x) \ dx \, dy - \iint_T 3 \ y^3 \ dx \ dy + \iint_T 5 \ dx \ dy$

2 sin(x) şi 3y³ sunt ambele funcţii impare şi în plus este evident că discul T este simetric şi în raport cu axa x şi în raport cu axa y; astfel, singura contribuţie la rezultatul final al integralei o are funcţia constantă 5 deoarece celelalte componente sunt nule.

Exemplu (2):

Se consideră funcţia $f(x,y,z) = x \ e^{y^2 + z^2}$ şi - ca regiune de integrare - sfera de rază 2 centrată în originea axelor $T = x^2 + y^2 + z^2 \le 4$ . "Bila" este simetrică în raport cu axele, dar este suficient să se integreze în raport cu axa x pentru a arăta că integrala este 0, deoarece funcţia este impară în acea variabilă.

[modifică] Formule de reducere

Formulele de reducere utilizează conceptul de domeniu simplu pentru a face posibilă descompunerea integralei multiple ca produs de alte integrale de o singură variabilă. Acestea trebuie să fie rezolvate de la dreapta la stânga, ţinând cont că celelalte variabile sunt constante (aceeaşi procedură ca şi la calculul derivatelor parţiale).

[modifică] Domenii normale din R²

[modifică] Axa x

Dacă D este un domeniu măsurabil perpendicular pe axa x şi $f: D \longrightarrow \mathbb{R}$ este o funcţie continuă; atunci α(x) şi β(x) (definite pe itnervalul [a,b]) sunt două funcţii care determină D. Atunci:

$\iint_T f(x,y)\ dx\, dy = \int_a^b dx \int_{ \alpha (x)}^{ \beta (x)} f(x,y)\, dy.$

[modifică] Axa y

Dacă D este un domeniu măsurabil perpendicular pe axa y şi $f: D \longrightarrow \mathbb{R}$ este o funcţie continuă; atunci α(y) şi β(y) (definite pe intervalul [a,b]) sunt două funcţii care determină D. Atunci:

$\iint_T f(x,y)\ dx\, dy = \int_a^b dy \int_{ \alpha (y)}^{ \beta (y)} f(x,y)\, dx.$

Exemplu: Regiunea D pentru integrale calculate prin metoda reducerii.

[modifică] Exemplu

Fie regiunea $D = \{ (x,y) \ : \ x=0, y=1, y=x^2 \}$ (vezi graficul). Se calculează

$\iint_D (x+y) \, dx \, dy.$

Acest domeniu este perpendicular pe axele x şi y. Pentru a aplica formulele, trebuie găsite funcţiile care determină D.

În acest caz, cele două funcţii sunt:

$\alpha (x) = x^2\,\!$ şi $\beta (x) = 1\,\!$

intervalul este dat de intersecţiile funcţiilor cu dreapta $x = 0\,\!$ , deci intervalul este $[a,b] = [0,1]\,\!$ (normalitatea a fost aleasă în raport cu axa x).

Acum se pot aplica formulele:

$\iint_D (x+y) \, dx \, dy = \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 (x+y) \, dy = \int_0^1 dx \ \left[xy \ + \ \frac{y^2}{2} \ \right]^1_{x^2}$

(la început, se calculează a doua integrală, considerând x constant). Restul operaţiunilor constau din aplicarea tehnicilor de bază de integrare:

$\int_0^1 \left[xy \ + \ \frac{y^2}{2} \ \right]^1_{x^2} \, dx = \int_0^1 \left(x + \frac{1}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) dx = \cdots = \frac{13}{20}.$

Dacă se alege normalitatea în raport cu axa y atunci se calculează

$\int_0^1 dy \int_0^{\sqrt{y}} (x+y) \, dx.$

şi se obţine aceeaşi valoare.

Exemplu de domeniu normal în R³ (planul xy).

[modifică] Domenii normale în R³

Extensia acestor formule la integralele triple este evidentă:

T este un domeniu perpendicular pe planul xy în raport cu funcţiile α (x,y,z) şi β(x,y,z). Atunci:

$\iiint_T f(x,y,z) \ dx\, dy\, dz = \iint_D dx\, dy \int_{\alpha (x,y,z)}^{\beta (x,y,z)} f(x,y,z) \, dz$

(aceeaşi definiţie există şi pentru celelalte cinci domenii de normalitate din R³).

[modifică] Schimbarea de variabilă

Limitele de integrare nu sunt de multe ori uşor de interschimbat (în absenţa normalităţii sau a unor formule complexe de integrare), şi în acest caz se efectuează o schimbare de variabile pentru a rescrie integrala într-o regiune mai "comodă", descrisă de formule mai simple. Pentru a face aceasta, funcţia trebuie să fie adaptată noilor coordonate.

Exemplu (1-a):

Funcţia este $f(x, y) = (x-1)^2 +\sqrt y$ ;

dacă se adoptă această substituţie: $x' = x-1, \ y'= y \, \!$ atunci $x = x' + 1, \ y=y' \,\!$

se obţine noua funcţie $f_2(x,y) = (x')^2 +\sqrt y$ .

Analog pentru domeniu, deoarece el este delimitat de variabilele originale care au fost transformate anterior (x şi y în exemplu).
diferenţialele dx şi dy se transformă prin determinantul matricii jacobiene ce conţine derivatele parţiale ale transformărilor privind noua variabilă (ca, de exemplu, transformarea în coordonate polare).

Există trei tipuri principale de schimbări de variabile (unul în R², două în R³); totuşi, se poate găsi o schimbare de variabilă potrivită pe acelaşi principiu la un mod mai general.

[modifică] Coordonate polare

Transformarea din coordonate polare în coordonate carteziene.

În R², dacă domeniul are "simetrie" circulară şi funcţia are anumite caracteristici deosebite, se poate aplica transformarea în coordonate polare ceea ce înseamnă că punctele generice P(x,y) în coordonate carteziene se transformă în puncte corespunzătoare lor în coordonate polare. Aceasta permite modificarea "formei" domeniului şi simplificarea calculelor.

Relaţia fundamentală pe care se bazează transformarea este următoarea:

$f(x,y) \rightarrow f(\rho \ \cos \phi,\rho \ \sin \phi ).$

Exemplu (2-a):

Funcţia este $f(x,y) = x + y\,\!$

şî la aplicarea transformării se obţine

$f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho \ (\cos \phi + \sin \phi ).$

Exemplu (2-b):

Funcţia este $f(x,y) = x^2 + y^2\,\!$

În acest caz avem:

$f(\rho, \phi) = \rho^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = \rho^2\,\!$

folosind identitatea triunghiului (foarte utilă în simplificarea operaţiei).

Transformarea domeniului domeniului se face definind circumgerinţa şi amplitudinea unghiului descris pentru a defini intervalele ρ, φ pornind de la x, y.

Exemplu de transformare de domeniu de la sistemul cartezian la cel polar.

Exemplu (2-c):

Domeniul este $D = x^2 + y^2 \le 4\,\!$ , adică un disc de rază 2; este evident că unghiul acoperit este întreg cercul, deci φ variază de la 0 la 2π, iar raza variază de la 0 la 2.

Exemplu (2-d):

Domeniul este $D = \{ x^2 + y^2 \le 9, \ x^2 + y^2 \ge 4, \ y \ge 0 \}$ , adică coroana circulară din semiplanul din semiplanul pozitiv y; se observă că φ descrie un unghi plan iar ρ merge de la 2 la 3. Deci domeniul transformat va fi următorul dreptunghi:

$T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \phi \le \pi \}$ .

Determinantul jacobian al transformării este următorul:

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \phi)} = \begin{vmatrix} \cos \phi & - \rho \sin \phi \\ \sin \phi & \rho \cos \phi \end{vmatrix} = \rho$

care a fost obţinut introducând derivatele parţiale ale funcţiilor x' = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ) în prima coloană în raport cu ρ şî în a doua în raport cu φ, deci diferenţialele dx dy din tranfosrmare devin ρ dρ dφ.

Odată ce funcţia este transformată şi domeniul este evaluat, se poate defini formula pentru schimbarea de variabile în coordonate polare:

$\iint_D f(x,y) \ dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi) \rho \, d \rho\, d \phi.$

Se observă că φ este valid în intervalul [0, 2π] în timp ce ρ, deoarece este o măsură a lungimii, poate avea doar valori pozitive.

Exemplu (2-e):

Funcţia este $f(x,y) = x\,\!$ este acelaşi ca în exemplul 2-d.

Din analiza anterioară a domeniului D ştim că intervalele ρ (de la 2 la 3) şi φ (de la 0 la π). Funcţia se transformă:

$f(x,y) = x \longrightarrow f(\rho,\phi) = \rho \ \cos \phi.$

în cele din urmă se aplică formula de integrare:

$\iint_D x \, dx\, dy = \iint_T \rho \cos \phi \ \rho \, d\rho\, d\phi.$

Odată ce sunt cunoscute intervalele, se poate calcula

$\int_0^{\pi} \int_2^3 \rho^2 \cos \phi \ d \rho \ d \phi = \int_0^{\pi} \cos \phi \ d \phi \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_2^3 = \left[ \sin \phi \right]_0^{\pi} \ \left(9 - \frac{8}{3} \right) = 0.$

Integrală multiplă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Exemple

[modifică] Definiţie matematică

[modifică] Proprietăţi

[modifică] Cazuri particulare

[modifică] Metode de integrare

[modifică] Examinare directă

[modifică] Constante

[modifică] Folosirea unor posibile simetrii

[modifică] Formule de reducere

[modifică] Domenii normale din R²

[modifică] Axa x

[modifică] Axa y

[modifică] Exemplu

[modifică] Domenii normale în R³

[modifică] Schimbarea de variabilă

[modifică] Coordonate polare

Vizualizări

Unelte personale

Navigare

participare

Căutare

Trusa de unelte

În alte limbi

Integrală multiplă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Exemple

[modifică] Definiţie matematică

[modifică] Proprietăţi

[modifică] Cazuri particulare

[modifică] Metode de integrare

[modifică] Examinare directă

[modifică] Constante

[modifică] Folosirea unor posibile simetrii

[modifică] Formule de reducere

[modifică] Domenii normale din R2

[modifică] Axa x

[modifică] Axa y

[modifică] Exemplu

[modifică] Domenii normale în R3

[modifică] Schimbarea de variabilă

[modifică] Coordonate polare

Vizualizări

Unelte personale

Navigare

participare

Căutare

Trusa de unelte

În alte limbi

[modifică] Domenii normale din R²

[modifică] Domenii normale în R³