Inegalitatea lui Karamata

Inegalitatea lui Karamata este o inegalitate puternică bazată pe convexitate.

Forma ponderată

Teoremă. Daca f este funcție convexă pe intervalul I, atunci

$p_{1}f(x_{1})+p_{2}f(x_{2})+...+p_{n}f(x_{n})\geq p_{1}f(y_{1})+p_{2}f(y_{2})+...+p_{n}f(y_{n})$

pentru orice $x_{1}\geq x_{2}\geq...\geq x_{n}, y_{1}\geq y_{2}\geq...\geq y_{n}$ sunt din intervalul $I$ și

$p_{1}x_{1}\geq p_{1}y_{1}$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\geq p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}$

$...$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...+p_{n-1}x_{n-1}\geq p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+...+p_{n-1}y_{n-1}$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...p_{n}x_{n}= p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+...+p_{n}y_{n}$ $p_{1},p_{2},...,p_{n}\geq 0$ si $n\geq 2$ dacă $f$ este strict convexă, inegalitatea are loc dacă

$(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(y_{1},y_{2},...,y_{n})$

Legături externe

• Inegalitatea lui Karamata