Inegalitatea Hölder

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, inegalitatea lui Hölder, care poartă numele matematicianului german Otto Hölder, reprezintă o relație fundamentală în cadrul spațiilor spațiilor Lp.

Fie S un spațiu măsurabil, și fie 1 ≤ p, q ≤ ∞ cu 1/p + 1/q = 1, iar f o funcție definită pe Lp(S) și g definită pe Lq(S). Atunci fg parcurge L1(S) și

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

Dacă S ={1,...,n}, obținem un caz particular al inegalității :

\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}

valabilă pentru toate numerele reale (sau complexe) x1,...,xn, y1,...,yn.

Pentru p = q = 2, obținem Inegalitatea Cauchy-Schwarz.

Inegalitatea lui Hölder este utilizată pentru a demonstra inegalitatea triunghiului în spațiul Lp, în multe cazuri fiind denumită inegalitatea Minkowski, dar și pentru a demonstra că Lp este spațiul dual asociat lui Lq și aceasta dacă p \neq 1.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Faptul că funcția logaritm natural este o funcție concavă ne permite să scriem că, pentru orice numere reale strict pozitive a și b și pentru orice p și q pentru care \frac{1}{p}, \frac{1}{q} sunt pozitive și au suma 1: \frac{1}{p}\ln(a)+\frac{1}{q}\ln(b) \leq \ln(\frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b), sau folosind funcția exponențială: a^{1/p}b^{1/q} \leq \frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b   . (1)

Să presupunem că \sum_{k=1}^n |x_k|^p=\sum_{k=1}^n |y_k|^q=1. Luând a=|x_{k}|^{p} și b=|y_{k}|^{q} din inegalitățile de mai sus, apoi însumând pentru k de la 1 la n, obținem: \sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq 1   . (2)

Acum să presupunem că \sum_{k=1}^n |x_k|^p și \sum_{k=1}^n |y_k|^q sunt nenule (adică cel puțin unul dintre x_{k} și cel puțin unul dintre y_{k} sunt nenule). Punând x'_{i}=\frac{x_{i}}{\left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p}} și y'_{i}=\frac{y_{i}}{\left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}} putem să aplicăm inegalitatea (2) cu acei coeficienți x'_{i} și y'_{i}, de unde obținem inegalitatea lui Hölder. Acesta este evidentă dacă toți x_{k} și toți y_{k} sunt nuli.

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Această inegalitate se poate generaliza astfel: Fie  {f}_k \in {L}^{p_k}(S) cu  \sum_{k=1}^n 1/p_k =1 , atunci:

Avem  {f}_1...{f}_n \in {L}^1(S) și \|f_1...f_n\|_1 \le \|f_1\|_{p_1} ... \|f_n\|_{p_n}.