Funcție Lommel

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Funcțiile Lommel de o variabilă[modificare | modificare sursă]

În matematică, Funcția Lommel este soluția ecuației diferențiale Lommel, care de fapt este o ecuație diferențială Bessel neomogenă, de forma:

z^2 \frac{d^2y}{dz^2} + z \frac{dy}{dz} + (z^2 - \nu^2)y = k z^{\mu+1}.


Cazul cel mai comun este cel în care valoarea k = 1, iar soluțiile ecuației în acest caz sunt:


y_1(z)=C1 J_\nu(z)+C2 Y_\nu(z)+s_{\mu,\nu}^{(1)}(z) \,\!
y_1(z)=C1 J_\nu(z)+C2 Y_\nu(z)+s_{\mu,\nu}^{(2)}(z) \,\!


unde s_{\mu,\nu}^{(1)}(z) \,\! și s_{\mu,\nu}^{(2)}(z) \,\! sunt funcțiile lui Lommel, introduse de Eugen von Lommel, în 1880. De notat că funcția s_{\mu,\nu}^{(1)}(z) \,\! se mai notează simplificat cu s_{\mu,\nu}(z) \,\!, iar s_{\mu,\nu}^{(2)}(z) \,\! cu S_{\mu,\nu}(z) \,\!.


s_{\mu,\nu}^{(1)}(z) = \frac{1}{2} \pi  \left[ Y_\nu (z) \int_0^z z^\mu J_\nu (z)\, dz - J_\nu (z) \int_0^z z^\mu Y_\nu (z)\, dz\right]
s_{\mu,\nu}^{(2)}(z) = s_{\mu,\nu}^{(1)}(z)  -\frac{2^{\mu-1}\Gamma(\frac{1+\mu+\nu}{2})}{\pi\Gamma(\frac{\nu-\mu}{2})}
\left(J_\nu(z)-\cos(\pi(\mu-\nu)/2)Y_\nu(z)\right)


unde Jν(z) este funcția Bessel de speța I-a, iar Yν(z) funcția Bessel de speța a II-a.


Funcțiile Lommel mai pot fi scrise sub forma:


s_{\mu,\nu}^{(1)}(z) = z^{\mu+1}\frac{\displaystyle{}_1F_2(1;\frac{1}{2}(\mu-\nu+3),\frac{1}{2}(\mu+\nu+3);-\frac{1}{4}z^2)}{(\mu+1)^2-\nu^2}


\begin{align}s_{\mu,\nu}^{(2)}(z) & = z^{\mu+1}\frac{\displaystyle{}_1F_2(1;\frac{1}{2}(\mu-\nu+3),\frac{1}{2}(\mu+\nu+3);\frac{1}{4}z^2)}{(\mu+1)^2-\nu^2} \\ & + z^{-\nu}\frac{2^{\mu+\nu-1}\Gamma(\nu)\Gamma\left(\frac{1}{2}(\mu+\nu+1)\right)\displaystyle{}_0F_1(;1-\nu;-\frac{1}{4}z^2)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}(-\mu+\nu+1)\right)} \\ & + z^{\nu}\frac{2^{\mu-\nu-1}\Gamma(-\nu)\Gamma\left(\frac{1}{2}(\mu-\nu+1)\right)\displaystyle{}_0F_1(;1+\nu;-\frac{1}{4}z^2)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}(-\mu-\nu+1)\right)} \\ \end{align}


în care \displaystyle{}_1F_2(a;b,c;d) \,\! și \displaystyle{}_0F_1(a;b;c) \,\! sunt serii hipergeometrice generalizate.


Relații funcționale pentru funcțiile de o variabilă[modificare | modificare sursă]

s_{\mu+2,\nu}^{(1)}(z) = z^{\mu+1}-[(\mu+1)^2-\nu^2]\,s_{\mu,\nu}^{(1)}(z)


\left(\frac{d}{dz}\right)\,s_{\mu,\nu}^{(1)}(z)+\left(\frac{\nu}{z}\right)\,s_{\mu,\nu}^{(1)}(z)=(\mu+\nu-1)s_{\mu-1,\nu-1}^{(1)}(z)


\left(\frac{d}{dz}\right)\,s_{\mu,\nu}^{(1)}(z)-\left(\frac{\nu}{z}\right)\,s_{\mu,\nu}^{(1)}(z)=(\mu-\nu-1)s_{\mu-1,\nu+1}^{(1)}(z)


Funcțiile Lommel de două variabile[modificare | modificare sursă]

Funcția U_{\nu}(w,z)\,\! este o soluție particulară a ecuației diferențiale:


\frac{\partial^2 U}{\partial z^2}-\frac{1}{z}\frac{\partial U}{\partial z}+\frac{z^2 U}{w^2} = \left(\frac{w}{z}\right)^{\mu-2}J_{\nu}(z)


și este dată de relația:

U_{\nu}(w,z) = \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\left(\frac{w}{z}\right)^{\nu+2m}J_{\nu+2m}(z)


Funcția V_{\nu}(w,z)\,\! este o soluție particulară a ecuației diferențiale:


\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}-\frac{1}{z}\frac{\partial V}{\partial z}+\frac{z^2 V}{w^2} = \left(\frac{w}{z}\right)^{\mu}J_{-\nu+2}(z)


și este dată de relația:

V_{\nu}(w,z)=\cos\left[\frac{1}{2}\left(w+\frac{z^2}{w}+\nu\pi\right)\right]\,+\,U_{-\nu+2}(w,z)


Relații funcționale pentru funcțiile de două varabile[modificare | modificare sursă]

2\frac{\partial}{\partial w}U_{\nu}(w,z) = U_{\nu-1}(w,z)+\left(\frac{z}{w}\right)^2U_{\nu+1}(w,z)


2\frac{\partial}{\partial w}V_{\nu}(w,z) = V_{\nu+1}(w,z)+\left(\frac{z}{w}\right)^2V_{\nu-1}(w,z)


Vezi și[modificare | modificare sursă]

Referințe[modificare | modificare sursă]

  • Erdélyi, Arthur; Magnus,Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G, (1953), Higher transcendental functions. Vol II, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, MR0058756
  • Lommel,E, (1875), Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function, Math Ann 9: 425-444, 10.1007/BF01443342
  • Lommel,E, (1880), Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV, Math. Ann. 16: 183–208 10.1007/BF01446386
  • Solomentsev, E.D. (2001) Lommel function, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publisher, 978-1556080104
  • Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3.


Legături externe[modificare | modificare sursă]