Funcția lui Dirac

Funcția lui Dirac (funcția delta) ca limită a unui șir de distribuții normale (gaussiene) centrate pe origine $\scriptstyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/a^{2}}$, pentru $\scriptstyle a\rightarrow 0$.

Funcția lui Dirac, sau funcția delta, notată δ(x), nu este o funcție obișnuită, ci o funcție generalizată (sau o distribuție). Poartă numele fizicianului englez P.A.M. Dirac care a utilizat-o extensiv în formularea sa a mecanicii cuantice, dar prezența ei în matematică este mai veche și e de exemplu implicită în folosirea integralei Stieltjes. Introducerea ei simplifică considerabil prezentările diferitelor capitole ale fizicii matematice. Descrierea matematică riguroasă a statutului funcției lui Dirac (și a altor funcții generalizate) este datorită lui Laurent Schwartz.

Definiție

Calitativ, funcția delta poate fi concepută ca o funcție care este egală cu zero peste tot, cu excepția lui x=0 unde este infinită, dar astfel încât

$\int _{I}\delta (x')dx'=1\,$

pentru orice interval care conține pe x=0. De aceea se poate afirma că integrala indefinită a funcției Dirac este treapta unitate Heaviside

$\int _{-\infty }^{x}\delta (x')dx'=\theta (x).\,$

Deci funcția lui Dirac este „derivata” funcției Heaviside.

Pentru orice funcție φ(x), continuă în x=0, este adevărat că:

$\int _{I}\phi (x')\delta (x')dx'=\phi (0).\,$

Aceasta poate servi ca o definiție posibilă a lui δ(x). Se pot defini și derivatele δ'(x),...δ⁽ⁿ⁾ funcției δ(x) prin acțiunea lor asupra funcțiilor φ(x) cu un număr suficient de derivate în x=0, de exemplu:

$\int _{I}\phi (x)\delta '(x)dx=-\phi '(0)\,$

(integrare formală prin părți).

Funcția δ(x-x₀) are aceleași proprietăți ca și δ(x), referitoare însă la punctul x₀. Pentru orice funcție φ(x), continuă pe axa reală, are loc relația:

$\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x')\delta (x-x')dx'=\phi (x)\,$

Simbolul δ(ψ(x)) pentru o funcție diferențiabilă ψ(x), care se anulează în x₀ și este monotonă se definește formal prin schimbarea de variabilă u=ψ(x):

$\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x')\delta (\psi (x'))dx'=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (\psi ^{-1}(u))}{\vert \psi '(\psi ^{-1}(u)\vert }}\delta (u)dx'={\frac {\phi (x_{0})}{\vert \psi '(x_{0})\vert }}\,$

unde φ(x) este presupusă continuă în x₀. Dacă ψ(x) se anulează de mai multe ori, atunci trebuie împărțit corespunzător intervalul de integrare și rezultatul este o sumă după zerourile lui ψ(x). Ca un caz particular simplu vedem că acțiunea lui δ(-x) asupra oricărei φ(x) continuă în x=0 este aceeași cu a lui δ(x). Deci, δ(x) este o „funcție” pară:

$\delta (x)=\delta (-x)\,$

Transformata Fourier

Transformata Fourier a funcției δ(x-x₀) este exp(ikx₀):

$\int _{-\infty }^{\infty }\exp(ikx)\delta (x-x_{0})dx=\exp(ikx_{0})\,$

Inversând (formal) transformarea Fourier, obținem relația importantă:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\exp(ikx_{0})\exp(-ikx)dk=\delta (x_{0}-x)\,$

Definiție ca limită a unui șir de funcții

Funcția δ(x) poate fi privită ca limita (în sensul acțiunii asupra unor funcții suficient de netede în x=0) a unui șir de funcții care cresc indefinit în x=0, devenind în același timp din ce în ce „mai înguste”: un exemplu util este:

$\lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {\sin \lambda x}{x}}=\pi \delta (x)\,$

Tratatul standard de teoria distribuțiilor este acela al lui I.M. Gelfand și G.E. Șilov . O introducere rapidă este în capitolul II al cărții lui V.S. Vladimirov. O introducere originală, foarte ușor de citit și în același timp riguroasă este cartea lui M.J. Lighthill.

Bibliografie

• I.M. Gelfand, G.E. Șilov: Funcții generalizate, Editura științifică și enciclopedică, București 1990.
• V.S. Vladimirov, Ecuațiile fizicii matematice, Editura științifică și enciclopedică, București 1980.
• M.J. Lighthill, Introduction to Fourier analysis and generalized functions, Cambridge University Press 1958.