Formulele lui Viète

În matematică, formulele lui Viète sunt relațiile dintre coeficienții unei ecuații algebrice și rădăcinile acesteia.

Dacă

$P(X)=a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0$

este un polinom de gradul $n\ge 1$ cu coeficienți numere complexe (deci $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n$ sunt numere complexe cu $a_n\ne 0$), iar $x_1, x_2, \dots, x_n$ sunt rădăcinile sale, atunci

$S_1 = x_1 + x_2 + \ldots + x_n = - \frac {a_1}{a_0} \!$

$S_2 = x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n = \frac {a_2}{a_0} \!$

$S_3 = x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_{n-2} x_{n-1} x_n = - \frac {a_3}{a_0} \!$

..............................................

$S_k = x_1 x_2 \ldots x_k + \ldots = (-1)^{k} \frac{a_k}{a_0} \!$

..........................................

$S_n = x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_n}{a_0}. \!$

Aceste relații au fost stabilite de François Viète în 1591 și se mai numesc și relații între rădăcini și coeficienți.

Observație

Relațiile nu trebuie confundate cu produsul infinit al lui Viète din trigonometrie:

$\cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\sin(\theta)\over \theta} .$