Formulele lui Viète

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, formulele lui Viète sunt relațiile dintre coeficienții unei ecuații algebrice și rădăcinile acesteia.

Dacă

P(X)=a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0

este un polinom de gradul n\ge 1 cu coeficienți numere complexe (deci a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n sunt numere complexe cu a_n\ne 0), iar x_1, x_2, \dots, x_n sunt rădăcinile sale, atunci

S_1 = x_1 + x_2 + \ldots + x_n = - \frac {a_1}{a_0} \!
S_2 = x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n =  \frac {a_2}{a_0} \!
S_3 = x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_{n-2} x_{n-1} x_n = - \frac {a_3}{a_0} \!
..............................................
S_k = x_1 x_2 \ldots x_k + \ldots = (-1)^{k} \frac{a_k}{a_0}  \!
..........................................
S_n = x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_n}{a_0}. \!

Aceste relații au fost stabilite de François Viète în 1591 și se mai numesc și relații între rădăcini și coeficienți.

Observație[modificare | modificare sursă]

Relațiile nu trebuie confundate cu produsul infinit al lui Viète din trigonometrie:

 \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} .