Formula lui Heron

Formula lui Heron este o expresie matematică prin care se poate calcula aria unui triunghi oarecare. Formula nu este recomandata atunci cand laturile nu sunt numere naturale.

Dacă ABC este un triunghi oarecare, de laturi a, b și c. Atunci aria sa este dată de formula:

$S_{ABC} =\sqrt{ p(p-a)(p-b)(p-c)}$

unde $\scriptstyle p= \frac{(a+b+c)}{2}$ reprezintă semiperimetrul triunghiului dat.

Demonstrare

Asta e cea mai scurta forma la care se poate ajunge calculand membrul drept din (1). Acum sa aducem cumva la aceasta forma formula A_Delta ABC = (a*h)/2, unde h = AD este inaltimea triunghiului oarecare ABC, iar a, baza acestuia. Deci daca aratam ca (a*h)/2 = (2), formula lui Heron este demonstrata. Dar cum se calculeaza inaltimea h astfel incat ea sa depinda doar de valorile lui a,b sau c? Vom incerca sa explicitam h in cele doua triunghiuri dreptunghice formate: ABD si ADC. Aplicam Teorema lui Pitagora in fiecare caz.Notez latura DC cu x. Avem: In triunghiul ADC, m(D)=90 grade. Avem ca h^2 = b^2-x^2, cu DC in BC. In triunghiul ABD, m(D)=90 grade, iar h^2 = c^2 - (a-x)^2, unde a-x = BD. Cum patratul inaltimii are doua echivalente, acestea din urma vor fi egale intre ele. . Deci: